คุณลดความซับซ้อนของ 2cos ^ 2 (4θ) -1 โดยใช้สูตรสองมุมได้อย่างไร

ตอบ:

# 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 = cos (8 theta) #

คำอธิบาย:

มีสองสูตรหลายมุมสำหรับโคไซน์ โดยปกติอันที่ต้องการคืออันที่เปลี่ยนโคไซน์เป็นโคไซน์อีกอัน:

# cos 2x = 2 cos ^ 2 x - 1 #

เราสามารถแก้ปัญหานี้ได้สองทิศทาง วิธีที่ง่ายที่สุดคือการพูด # x = 4 theta # ดังนั้นเราจึงได้รับ

# cos (8 theta) = 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 #

ซึ่งค่อนข้างง่าย

วิธีปกติที่จะไปคือรับสิ่งนี้ในแง่ของ # cos theta #. เราเริ่มต้นด้วยการปล่อย # x = 2 theta. #

# 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 #

# = 2 cos ^ 2 (2 (2 theta)) - 1 #

# = 2 (2 cos ^ 2 (2 theta) - 1) ^ 2 - 1 #

# = 2 (2 (2 cos ^ 2 theta -1) ^ 2 -1) ^ 2 -1 #

# = 128 cos ^ 8 theta - 256 cos ^ 6 theta + 160 cos ^ 4 theta - 32 cos ^ 2 theta + 1 #

หากเราตั้งไว้ # x = cos theta # เราอยากได้พหุนาม Chebyshev อันดับที่แปดของอันแรก # T_8 (x) #พอใจ

#cos (8x) = T_8 (cos x) #

ฉันเดาวิธีแรกอาจเป็นสิ่งที่พวกเขาหลังจาก