คำถาม # 92256

ตอบ:

ดูคำอธิบาย

คำอธิบาย:

แบ่งสิ่งนี้ออกเป็นสองส่วนส่วนแรก:

# อี ^ x #

นี่เป็นบวกและเพิ่มขึ้นสำหรับจำนวนจริงทั้งหมดและเปลี่ยนจาก 0 เป็น # OO # เช่น # x # ไปจาก # -oo # ไปยัง # OO #

เรามี:

#arctan (U) #

มีเส้นกำกับแนวนอนที่เหมาะสมที่ # Y = pi / 2 #. ไปจาก # u = 0 rarr oo #ที่ # U = 0 # ฟังก์ชั่นนี้เป็นบวกและเพิ่มขึ้นทั่วโดเมนนี้รับค่า 0 เป็น # U = 0 #ค่าของ # ปี่ / 4 # ที่ # U = 1 # และคุณค่าของ # ปี่ / 2 # ที่ # U = OO #.

คะแนนเหล่านี้จึงถูกดึงไป # x = -oo, 0, OO # ตามลำดับแล้วเราจะได้กราฟที่มีลักษณะดังนี้:

กราฟ {arctan (e ^ x) -10, 10, -1.5, 3}

ซึ่งเป็นส่วนที่ดีของ # arctan # ฟังก์ชั่นยืดทั่วทั้งเส้นจริงด้วยค่าซ้ายถูกยืดเป็นเส้นกำกับแนวนอนที่ # การ y = 0 #.

ตอบ:

ดูคำอธิบาย

คำอธิบาย:

โดเมน คือ # RR #

สมมาตร

ไม่มีความเคารพต่อ # x # แกนหรือ w.r.t กำเนิด

#arctan (จ ^ (- x)) # ไม่ลดความซับซ้อนของ #arctan (จ ^ x) #

หรือเพื่อ # -arctan (จ ^ x) #

ดัก

# x # ดัก: ไม่มี

เราไม่สามารถรับได้ #y = 0 # เพราะนั่นจะต้อง # e ^ x = 0 #

แต่ # อี ^ x # ไม่เคย #0#มันเข้าใกล้เท่านั้น #0# เช่น # xrarr อู #.

ดังนั้น, # yrarr0 # เช่น # xrarr อู # และ # x # แกน OS ในแนวนอน

เส้นกำกับด้านซ้าย

# Y # ตัด: # ปี่ / 4 #

เมื่อ # x = 0 #, เราได้รับ #y = arctan (1) = pi / 4 #

asymptotes:

แนวตั้ง: ไม่มี

# arctan # อยู่ระหว่าง # -pi / 2 # และ # ปี่ / 2 # ตามคำจำกัดความดังนั้นอย่าไปที่ # OO #

แนวนอน:

ซ้าย: # การ y = 0 # ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น

ขวา: # Y = pi / 2 #

เรารู้ว่าเป็น # thetararrpi / 2 # กับ #theta <pi / 2 #, เราได้รับ #tantheta rarr oo #

เพื่อให้เป็น # xrarroo #, เราได้รับ # e ^ x rarroo #ดังนั้น # y = arctan (e ^ x) rarr pi / 2 #

อนุพันธ์อันดับหนึ่ง

#y '= e ^ x / (1 + e ^ (2x)) # ไม่เคย #0# และไม่เคยไม่ได้กำหนดดังนั้นจึงไม่มีตัวเลขที่สำคัญ

สำหรับทุกคน # x # เรามี #y '> 0 # ดังนั้นฟังก์ชั่นจึงเพิ่มขึ้น # (- OO, OO) #

ไม่มี Extrema ท้องถิ่น

อนุพันธ์อันดับสอง

#y '' = (e ^ x (1 + e ^ (2x)) - e ^ x (2e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x + e ^ (3x) -2e ^ (3x)) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (E ^ x (1-E ^ (2x))) / (1 + E ^ (2x)) ^ 2 #

# y '' # ไม่เคยไม่ได้กำหนดและมันก็เป็น #0# ที่ # x = 0 #

สัญลักษณ์ของ # y '' #:

บน # (- OO, 0) #, เราได้รับ # e ^ (2x) <1 # ดังนั้น #y ''> 0 # และกราฟเว้า

บน # (0, OO) #, เราได้รับ # e ^ (2x)> 1 # ดังนั้น #y '' <0 # และกราฟเว้าลง

การเปลี่ยนแปลงของเว้าที่ # x = 0 #ดังนั้นจุดที่ทำให้เกิดการผันคือ:

# (0, ปี่ / 4) #

ตอนนี้วาดกราฟ