ฟังก์ชั่นสามารถต่อเนื่องและไม่แตกต่างกันในโดเมนที่กำหนดหรือไม่?

ตอบ:

ใช่.

คำอธิบาย:

หนึ่งในตัวอย่างที่โดดเด่นที่สุดของเรื่องนี้คือฟังก์ชั่น Weierstrass ค้นพบโดย Karl Weierstrass ซึ่งเขากำหนดไว้ในเอกสารต้นฉบับของเขาเป็น:

#sum_ (n = 0) ^ oo a ^ n cos (b ^ n pi x) #

ที่ไหน # 0 <a <1 #, # B # เป็นจำนวนเต็มคี่บวกและ #ab> (3pi + 2) / 2 #

นี่เป็นฟังก์ชั่นแหลมคมที่ต่อเนื่องทุกหนทุกแห่งบนสาย Real แต่ไม่สามารถแยกได้

ตอบ:

ใช่ถ้ามันมีจุด "งอ" ตัวอย่างหนึ่งคือ # f (x) = | x | # ที่ # x_0 = 0 #

คำอธิบาย:

ฟังก์ชั่นต่อเนื่องจริงหมายถึงการวาดมันโดยไม่ต้องถอดดินสอออกจากกระดาษ ในทางคณิตศาสตร์มันหมายถึงการใด ๆ # x_0 # ค่าของ # f (x_0) # ในขณะที่พวกเขากำลังเดินเข้ามาใกล้กับเล็ก # DX # จากซ้ายและขวาจะต้องเท่ากัน:

#lim_ (x-> x_0 ^ -) (f (x)) = lim_ (x-> x_0 ^ +) (f (x)) #

ที่เครื่องหมายลบหมายถึงการเข้าใกล้จากซ้ายและเครื่องหมายบวกหมายถึงการเข้าหาจากทางขวา

ฟังก์ชั่นที่แตกต่างกันในทางปฏิบัติหมายถึงฟังก์ชั่นที่เปลี่ยนความลาดเอียงอย่างต่อเนื่อง ดังนั้นฟังก์ชั่นที่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดใดจุดหนึ่งหมายความว่ามันเปลี่ยนความชันของมันจากด้านซ้ายของจุดนั้นไปทางขวาทันที

ลองดู 2 ฟังก์ชัน

# f (x) = x ^ 2 # ที่ # x_0 = 2 #

กราฟ

กราฟ {x ^ 2 -10, 10, -5.21, 5.21}

กราฟ (ซูม)

กราฟ {x ^ 2 0.282, 3.7, 3.073, 4.783}

ตั้งแต่เวลา # x_0 = 2 # กราฟสามารถเกิดขึ้นได้โดยไม่ต้องดึงดินสอออกจากกระดาษฟังก์ชั่นจะต่อเนื่อง ณ จุดนั้น เนื่องจากมันไม่งอในจุดนั้นมันจึงแตกต่างกัน

#G (x) = | x | # ที่ # x_0 = 0 #

กราฟ

กราฟ {absx -10, 10, -5.21, 5.21}

ที่ # x_0 = 0 # ฟังก์ชั่นต่อเนื่องเนื่องจากสามารถวาดได้โดยไม่ต้องถอดดินสอออกจากกระดาษ อย่างไรก็ตามเนื่องจากมันเป็นจุดที่โค้งงอฟังก์ชั่นจึงไม่แตกต่างกัน