คุณจะพิสูจน์ arcsin x + arccos x = pi / 2 ได้อย่างไร?

ตอบ:

ตามที่ปรากฏ

คำอธิบาย:

ปล่อย

# arcsinx = theta #

แล้วก็

# x = sintheta = cos (PI / 2-theta) #

# => arccosx = pi / 2-theta = pi / 2-arcsinx #

# => arccosx = pi / 2-arcsinx #

# => arcsinx + arccosx = pi / 2 #

ตอบ:

คำสั่งนั้นเป็นจริงเมื่อฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันอ้างถึงค่าตัวเงินต้น แต่ต้องมีความระมัดระวังในการแสดงมากกว่าคำตอบอื่น ๆ

เมื่อฟังก์ชันตรีโกณฯ ตรีโกณฯ พิจารณาว่าเป็นหลายค่าเราจะได้ผลลัพธ์ที่เหมาะสมยิ่งขึ้นตัวอย่างเช่น

#x = sin ({3 pi} / 4) = cos (pi / 4) = 1 / sqrt {2} quad # แต่ #quad {3pi} / 4 + pi / 4 = pi #

เราต้องลบเพื่อให้ได้ # ปี่ / 2 #.

คำอธิบาย:

อันนี้มันช่างซับซ้อนกว่าที่คิด คำตอบอื่น ๆ ไม่ได้ให้ความเคารพอย่างเหมาะสม

การประชุมทั่วไปคือการใช้ตัวอักษรขนาดเล็ก #arccos (x) # และ #arcsin (x) # เป็นนิพจน์ที่มีหลายค่าแต่ละค่าตามลำดับจะระบุค่าทั้งหมดที่มีค่าโคไซน์หรือไซน์มีค่าที่กำหนด # x #.

ความหมายของผลรวมของสิ่งเหล่านั้นคือชุดค่าผสมที่เป็นไปได้จริง ๆ และชุดที่ไม่ให้เสมอ # ปี่ / 2 # พวกเขาจะไม่ให้มุม coterminal เสมอ # pi / 2 + 2pi k quad # จำนวนเต็ม # k #ตามที่เราจะแสดง

เรามาดูกันว่ามันทำงานอย่างไรกับฟังก์ชั่นการทำงานของ inverse แบบหลายค่าก่อน จดจำโดยทั่วไป # cos x = cos a # มีโซลูชั่น # x = pm a + 2pi k quad # จำนวนเต็ม # k #.

# c = arccos x # จริงๆหมายถึง

#x = cos c #

#s = arcsin x # จริงๆหมายถึง

#x = sin s #

#y = s + c #

# x # กำลังเล่นบทบาทของพารามิเตอร์จริงที่กวาดล้าง #-1# ไปยัง #1#. เราต้องการที่จะแก้ปัญหาสำหรับ # Y #หาค่าทั้งหมดที่เป็นไปได้ของ # Y # ซึ่งมี #x, s # และ c # # ที่ทำให้สมการเหล่านี้พร้อมกัน #x = cos c, x = sin s, y = s + c # จริง

#sin s = x = cos c #

#cos (pi / 2 - s) = cos c #

เราใช้วิธีแก้ปัญหาทั่วไปข้างต้นเกี่ยวกับความเสมอภาคของโคไซน์

# pi / 2 - s = pm c + 2pi k quad # จำนวนเต็ม # k #

# s pm c = pi / 2 - 2pi k #

ดังนั้นเราจึงได้ผลลัพธ์ที่คลุมเครือมากขึ้น

#arcsin x pm arcsin c = pi / 2 + 2pi k #

(อนุญาตให้พลิกสัญญาณได้ # k. #)

ตอนนี้ให้เรามุ่งเน้นไปที่ค่านิยมหลักที่ฉันเขียนด้วยตัวพิมพ์ใหญ่:

แสดง #text {Arc} ข้อความ {sin} (x) + ข้อความ {Arc} ข้อความ {cos} (x) = pi / 2 #

คำสั่งนั้นเป็นจริงสำหรับค่าหลักที่กำหนดในวิธีปกติ

ผลรวมถูกกำหนดเท่านั้น (จนกว่าเราจะได้จำนวนที่ค่อนข้างลึกเป็นจำนวนเชิงซ้อน) สำหรับ # -1 le x le 1 # เพราะไซน์และโคไซน์ที่ถูกต้องอยู่ในช่วงนั้น

เราจะดูแต่ละด้านของสิ่งเดียวกัน

# text {Arc} ข้อความ {cos} (x) stackrel {?} {=} pi / 2 - ข้อความ {Arc} ข้อความ {sin} (x) #

เราจะใช้โคไซน์ของทั้งสองด้าน

#cos (ข้อความ {Arc} ข้อความ {cos} (x)) = x #

#cos (pi / 2 - ข้อความ {Arc} ข้อความ {sin} (x)) = sin (ข้อความ {Arc} ข้อความ {sin} (x)) = x #

ดังนั้นโดยไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับสัญญาณหรือค่านิยมเรามั่นใจ

#cos (ข้อความ {Arc} ข้อความ {cos} (x)) = cos (pi / 2 - ข้อความ {Arc} ข้อความ {sin} (x)) #

ส่วนที่ยุ่งยากส่วนที่สมควรได้รับความเคารพเป็นขั้นตอนต่อไป:

#text {Arc} ข้อความ {cos} (x) = pi / 2 - ข้อความ {Arc} ข้อความ {sin} (x) quad # ยังไม่แน่ใจ

เราต้องเหยียบอย่างระมัดระวัง ลองหาค่าบวกและลบ # x # แยกต่างหาก

เป็นครั้งแรก # 0 le x le 1 #. นั่นหมายถึงค่าที่สำคัญของฟังก์ชันตรีโกณฯ ทั้งสองอยู่ในจตุภาคแรกระหว่าง #0# และ # ปี่ / 2 # จำกัด ให้กับจตุภาคแรก, โคไซน์ที่เท่ากันซึ่งแปลว่ามุมที่เท่ากันดังนั้นเราจึงสรุปได้ #x ge 0, #

#text {Arc} ข้อความ {cos} (x) = pi / 2 - ข้อความ {Arc} ข้อความ {sin} (x) quad #

ตอนนี้ # -1 le x <0. # ค่าหลักของเครื่องหมายผกผันอยู่ในจตุภาคที่สี่และสำหรับ #x <0 # เรามักจะกำหนดค่าหลักในช่วง

# - pi / 2 ไฟล์ข้อความ {Arc} ข้อความ {sin} (x) <0 #

# pi / 2 ge - ข้อความ {Arc} ข้อความ {sin} (x)> 0 #

#pi ge pi / 2 - ข้อความ {Arc} ข้อความ {sin} (x)> pi / 2 #

# pi / 2 <pi / 2 - ข้อความ {Arc} ข้อความ {sin} (x) le pi #

ค่าหลักสำหรับโคไซน์ผกผันเชิงลบคือจตุภาคที่สอง

# pi / 2 <text {Arc} ข้อความ {cos} (x) le pi #

เรามีมุมสองมุมในจตุภาคที่สองซึ่งโคไซน์เท่ากันและเราสามารถสรุปมุมได้เท่ากัน สำหรับ #x <0 #, #text {Arc} ข้อความ {cos} (x) = pi / 2 - ข้อความ {Arc} ข้อความ {sin} (x) quad #

ดังนั้นทั้งสองทาง

# text {Arc} ข้อความ {sin} (x) + ข้อความ {Arc} ข้อความ {cos} (x) = pi / 2 quad sqrt #