คุณแยกความแตกต่าง f (x) = (x-e ^ x) (cosx + 2sinx) โดยใช้กฎผลิตภัณฑ์อย่างไร

ตอบ:

ก่อนอื่นคุณต้องใช้กฎการผลิตเพื่อรับ

# d / dx f (x) = (d / dx (x-e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (d / dx (cosx + 2sinx)) #

จากนั้นใช้ลิเนียริตี้ของอนุพันธ์และนิยามอนุพันธ์เชิงฟังก์ชันเพื่อรับ

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-3e ^ xcosx-e ^ xsinx- xsinx + 2xcosx #

คำอธิบาย:

กฎผลิตภัณฑ์เกี่ยวข้องกับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันซึ่งเป็นทวีคูณของสองฟังก์ชัน (หรือมากกว่า) ในรูปแบบ # f (x) = กรัม (x) * h (x) #. กฎผลิตภัณฑ์คือ

# d / dx f (x) = (d / dx g (x)) * h (x) + g (x) * (d / dx h (x)) #.

นำไปใช้กับฟังก์ชั่นของเรา

# f (x) = (x-E ^ x) (cosx + 2sinx) #

เรามี

# d / dx f (x) = (d / dx (x-e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (d / dx (cosx + 2sinx)) #.

นอกจากนี้เราต้องใช้ความเป็นเส้นตรงของการได้มาซึ่ง

# d / dx (a * f (x) + b * g (x)) = a * (d / dx f (x)) + b * (d / dx g (x)) #.

ใช้สิ่งนี้เรามี

# d / dx f (x) = (d / dx (x) -d / dx (e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (xe ^ x) (d / dx (cosx) + 2 * d / dx (sinx)) #.

เราจำเป็นต้องทำอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นเหล่านี้เราใช้

# d / dx x ^ n = n * x ^ {n-1} # # # # # # # # d / dx e ^ x = e ^ x #

# d / dx sin x = cos x # # # # # # # # d / dx cos x = - sin x #.

ตอนนี้เรามี

# d / dx f (x) = (1 * x ^ 0-e ^ x) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (- sinx + 2cosx) #.

# d / dx f (x) = (1-e ^ x) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (- sinx + 2cosx) #

ณ จุดนี้เราเพิ่งเรียบร้อยเล็กน้อย

# d / dx f (x) = (cosx + 2sinx) -e ^ x (cosx + 2sinx) + x (-sinx + 2 * cosx) + e ^ x (sinx-2cosx) #

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-e ^ xcosx-2 e ^ xsinx- xsinx + 2xcosx + e ^ x sinx-2e ^ xcosx #

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-3e ^ xcosx-e ^ xsinx- xsinx + 2xcosx #