อินทิกรัลง่ายๆ: int {-3x + 5} / {x ^ 2-2x + 5} dx =?

ตอบ:

#int (-3x + 5) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #

# = arctan ((x-1) / 2) -3 / 2ln (x ^ 2-2x + 5) #

คำอธิบาย:

#int (-3x + 5) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #

=# -int (3x-5) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #

=# -int (3x-3-2) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #

=# -int (3x-3) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #+#int 2 / (x ^ 2-2x + 5) * dx #

=#int 2 / ((x-1) ^ 2 + 4) * dx #-# 3 / 2int (2x-2) / (x ^ 2-2x + 5) #

=#arctan ((x-1) / 2) -3 / 2ln (x ^ 2-2x + 5) #

ตอบ:

# = - 3 / 2ln (x ^ 2-2x + 5) + น้ำตาล ^ -1 ((x-1) / 2) + C #

คำอธิบาย:

#int (-3x + 5) / (x ^ 2-2x + 5) dx #

# = int (-3x + 5-2 + 2) / (x ^ 2-2x + 5) dx #

# = int (-3x + 3) / (x ^ 2-2x + 5) + 2 / (x ^ 2-2x + 5) dx #

# = - int (3x-3) / (x ^ 2-2x + 5) DX + int2 / (x ^ 2-2x + 5) DX #

สำหรับ:

# -int (3x-3) / (x ^ 2-2x + 5) DX #

ใช้การทดแทน:

# U = x ^ 2-2x + 5 #

#implies du = 2x-2dx หมายถึง 3 / 2du = 3x-3dx #

#therefore -int (3x-3) / (x ^ 2-2x + 5) dx = -int (3/2) / udu = -3 / 2ln (u) + C #

ย้อนกลับการทดแทน:

# -3 / 2ln (x ^ 2-2x + 5) + C #

สำหรับอินทิกรัลอื่น:

# int2 / (x ^ 2-2x + 5) DX #

เขียนส่วนในรูปแบบสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เสร็จสมบูรณ์แล้ว:

# x ^ 2-2x + 5 = (x-1) ^ 2 - (- 1) ^ 2 + 5 = (x-1) ^ 2 + 4 #

ดังนั้น:

# int2 / (x ^ 2-2x + 5) DX = 2intdx / ((x-1) ^ 2 + 4) #

ตอนนี้แทนที่:

# 2u = (x-1) #

#implies du = 2dx # ดังนั้น:

# 2intdx / ((x-1) ^ 2 + 4) = 2int2 / (4u ^ 2 + 4) du = 4 / 4int1 / u (^ 2 + 1) du #

ซึ่งเรารับรู้ว่าจะรวมเข้ากับการแทนเจนต์ผกผันของเรา:

# = สีน้ำตาล ^ -1 (U) + C '#

ย้อนกลับการทดแทน:

# = สีน้ำตาล ^ -1 ((x-1) / 2) + C '#

ดังนั้น "บางสิ่ง" คือ:

#int (-3x + 5) / (x ^ 2-2x + 5) dx #

# = - int (3x-3) / (x ^ 2-2x + 5) DX + int2 / (x ^ 2-2x + 5) DX #

# = - 3 / 2ln (x ^ 2-2x + 5) + น้ำตาล ^ -1 ((x-1) / 2) + C #