มุมสองมุมของสามเหลี่ยมหน้าจั่วอยู่ที่ (1, 3) และ (9, 4) หากพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคือ 64 ความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมคือเท่าใด

ตอบ:

ความยาวของด้านสามเหลี่ยมเป็น:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

คำอธิบาย:

ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด # (x_1, y_1) # และ # (x_2, y_2) # กำหนดโดยสูตรระยะทาง:

#d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

ดังนั้นระยะห่างระหว่าง # (x_1, y_1) = (1, 3) # และ # (x_2, y_2) = (9, 4) # คือ:

#sqrt ((9-1) ^ 2 + (4-3) ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt (65) #

ซึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะมีขนาดใหญ่กว่าเล็กน้อย #8#.

หากด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมมีความยาวเท่ากันพื้นที่ที่เป็นไปได้สูงสุดของสามเหลี่ยมจะเท่ากับ:

# 1/2 * sqrt (65) ^ 2 = 65/2 <64 #

ดังนั้นจึงไม่สามารถเกิดขึ้นได้ แต่อีกสองด้านจะต้องมีความยาวเท่ากัน

รับรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านข้าง # a = sqrt (65), b = t, c = t #เราสามารถใช้สูตรของเฮรอนเพื่อค้นหาพื้นที่ของมัน

สูตรนกกระสาบอกเราว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมมีด้านข้าง #a, b, c # และปริมณฑล #s = 1/2 (a + b + c) # มอบให้โดย:

#A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

ในกรณีของเราขอบเขตกึ่งคือ:

#s = 1/2 (sqrt (65) + t + t) = t + sqrt (65) / 2 #

และสูตรของนกกระสาบอกเราว่า:

# 64 = 1 / 2sqrt ((t + sqrt (65) / 2) (t-sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2)) #

#color (white) (64) = 1 / 2sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

ทวีคูณทั้งสองอย่างด้วย #2# ที่จะได้รับ:

# 128 = sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

รับทั้งสองด้านเพื่อรับ:

# 16384 = 65/4 (t ^ 2-65 / 4) #

คูณทั้งสองข้างด้วย #4/65# ที่จะได้รับ:

# 65536/65 = t ^ 2-65 / 4 #

ไขว้และเพิ่ม #65/4# ทั้งสองด้านเพื่อรับ:

# t ^ 2 = 65536/65 + 65/4 = 262144/260 + 4225/260 = 266369/260 #

นำสแควร์รูทบวกของทั้งสองข้างมาหา:

#t = sqrt (266369/260) #

ดังนั้นความยาวของด้านสามเหลี่ยมนั้นคือ:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

วิธีการทางเลือก

แทนที่จะใช้สูตรของนกกระสาเราสามารถให้เหตุผลดังนี้

ระบุว่าฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีความยาว:

#sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (65) #

บริเวณนั้นคือ # 64 = 1/2 "ฐาน" xx "ความสูง" #

ดังนั้นความสูงของสามเหลี่ยมคือ:

# 64 / (1/2 sqrt (65)) = 128 / sqrt (65) = (128sqrt (65)) / 65 #

นี่คือความยาวของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของรูปสามเหลี่ยมซึ่งผ่านจุดกึ่งกลางของฐาน

ดังนั้นอีกสองด้านจึงสร้างด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากกับขา #sqrt (65) / 2 # และ # (128sqrt (65)) / 65 #

ดังนั้นโดยพีธากอรัสแต่ละด้านนั้นยาว:

#sqrt ((sqrt (65) / 2) ^ 2 + ((128sqrt (65)) / 65) ^ 2) = sqrt (65/4 + 65536/65) = sqrt (266369/260) #