ฟังก์ชั่นความเร็วคือ v (t) = –t ^ 2 + 3t - 2 สำหรับอนุภาคที่เคลื่อนที่ไปตามเส้น การกระจัด (ระยะทางสุทธิครอบคลุม) ของอนุภาคในช่วงเวลา [-3,6] คืออะไร?

ตอบ:

#int _ (- 3) ^ 6 v (t) dt = 103.5 #

คำอธิบาย:

พื้นที่ใต้เส้นโค้งความเร็วจะเท่ากับระยะทางที่ครอบคลุม

#int _ (- 3) ^ 6 v (t) dt #

# = int _ (- 3) ^ 6 -t ^ 2 + 3t-2color (สีขาว) ("X") dt #

# = - 1 / 3t ^ 3 + 3 / 2t ^ 2-2t | _color (สีฟ้า) ((- 3)) ^ สี (สีแดง) (6) #

# = (สี (แดง) (- 1/3 (6 ^ 3) +3/2 (6 ^ 2) -2 (6))) - (สี (น้ำเงิน) (- 1/3 (-3) ^ 3 +3/2 (-3) ^ 2-2 (-3))) #

#=114 -10.5#

#=103.5#

ตอบ:

คำถามเดิมค่อนข้างสับสนเนื่องจากเป็นการบอกว่าการกระจัดและระยะทางเป็นสิ่งเดียวกันซึ่งไม่ใช่

ฉันได้ตั้งค่าการรวมที่จำเป็นสำหรับกรณีที่แตกต่างกันในที่นี้

คำอธิบาย:

ระยะทางรวม (ปริมาณสเกลาร์ที่แสดงถึงความยาวเส้นทางจริง) ได้รับจากผลรวมของปริพันธ์บางส่วน

# x = int _ (- 3) ^ 1 (0 - (- T ^ 2 + 3t-2) dt + int_1 ^ 2 (t-^ 2 + 3t-2) dt + int_2 ^ 6 (T ^ 2-3t + 2) dt #

การกำจัดทั้งหมด (ปริมาณเวกเตอร์ที่เป็นตัวแทนของเส้นตรงที่ลากมาตั้งแต่ต้นจนจบการเคลื่อนที่) จะถูกกำหนดขนาดโดยอินทิกรัลต่อไปนี้

# | vecx | = -int _ (- 3) ^ 1 (t ^ 2-3t + 2) dt + int_1 ^ 2 (t-^ 2 + 3t-2) DT-int_2 ^ 6 (T ^ 2-3t + 2) dt #

กราฟของฟังก์ชั่นความเร็วพร้อมเวลาทำให้ชัดเจนว่าทำไมอินทิกรัลเหล่านี้จำเป็นต้องตั้งค่าเพื่อให้กฎของเวกเตอร์ต้องปฏิบัติตามและคำจำกัดความที่ต้องทำให้พอใจ

กราฟ {-x ^ 2 + 3x-2 -34.76, 38.3, -21.53, 14.98}