Psi (x, t) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) คำถามใหม่ ?

รุ่น A ประเภทสิทธิ) #

คุณเพียงแค่ต้องใช้ #Psi ^ "*" Psi #.

#color (blue) (Psi ^ "*" Psi) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) ^ "*" sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ (iomega_2t) sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = 1 / Lsin ^ 2 ((pix) / L) + 1 / L ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + 1 / L sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_2-omega_1) t) + 1 / L sin ^ 2 ((2pix) / L) #

# = color (blue) (1 / L sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) + 1 / L sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + e ^ (i (omega_2-omega_1) t)) #

รุ่น B) #

ช่วงเวลาสามารถพบได้โดยใช้ความพยายามเพียงเล็กน้อยโดยการรู้พลังงานครั้งแรกซึ่งเป็นค่าคงที่ของการเคลื่อนไหว

พลังงานของ # phi_1 = sqrt (1 / L) บาป ((pix) / L) # คือ # E_1 = (1 ^ 2pi ^ 2ℏ ^ 2) / (4mL ^ 2) #และพลังงานของ # phi_2 # คือ # 4E_1 #. ดังนั้นความถี่ # omega_2 # ของ # phi_2 # เป็นสี่เท่าของ # phi_1 # (# Omega_1 #).

เป็นผลให้ช่วงเวลา # T_1 = (2pi) / (omega_1) # ของ # phi_1 # เป็นสี่เท่าของ # phi_2 # (# T_2 = (2pi) / (omega_2) #และยังเป็นช่วงเวลาของ # phi_2 #.

ดังนั้นจึงเป็นช่วงเวลา #color (สีน้ำเงิน) (T = (2pi) / (omega_1)) #.

#c) #

ฉันจะให้คุณเสียบอันนี้ในตัวคุณเอง #t _ "*" = pi / 2 (E_2 E_1) #. คุณไม่จำเป็นต้องทำอะไรกับมัน …

เรารู้ว่า #T = (2pi) / (omega_1) #และนั่น # (iEt) / ℏ = iomegat #ดังนั้น

#E_n = omega_nℏ #.

ผลที่ตามมา, # pi / (2 (E_2-E_1)) = pi / (2 (omega_2-omega_1)) ℏ) #

และ

#color (สีน้ำเงิน) (t _ "*" / T) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2pi) #

# = 1 / (2 (4omega_1-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2) #

# = omega_1 / (4ℏ (3omega_1)) #

# = color (blue) (1 / (12ℏ)) #

# วัน) #

ความน่าจะเป็นในการค้นหาอนุภาคใน # 0, L / 2 # ได้รับเป็น

#int_ (0) ^ (L / 2) Psi ^ "*" Psidx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (- 3iomega_1t) + e ^ (3iomega_1t) dx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2sin ((Pix) / L) บาป ((2pix) / L) cos (3omega_1t) DX #

สองคำแรกมีความสมมาตรโดยครึ่งหนึ่งของแอมพลิจูดและอัตราผลตอบแทน #50%# ทั้งหมด

ในระยะที่สามจะมีสถานะความน่าจะเป็นแบบคงที่ # 4 / (3pi) #และ # cos # เป็นปัจจัยเฟสโดยพลการ ดังนั้นความน่าจะเป็นโดยรวมคือ

# = color (blue) (0.50 + 4 / (3pi) cos (3omega_1t)) #

#E) #

#color (blue) (<< x >>) = << Psi | x | Psi >> = << xPsi | Psi >> #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2xsin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

ไม่มีวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อยสำหรับเรื่องนี้ … สิ่งนี้กลายเป็น:

# = L / (4pi ^ 2) + L / 8 + (2L) / (3pi) - (8L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t) #

# = color (blue) ((2 + pi ^ 2) L) / (8pi ^ 2) + ((6pi - 8) L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t)) #

# f) #

ที่ #x = L / 2 #, #บาป# เงื่อนไขไปที่ #sin (pi / 2) = 1 # และ #sin (pi) = 0 #ตามลำดับ

ตั้งแต่ #sin (pi) = 0 #ส่วนที่ขึ้นกับเวลาของ #Psi ^ "*" Psi # หายตัวไปและส่วนที่ไม่ขึ้นกับเวลายังคงอยู่ # 1 / L # เป็นความหนาแน่นของความน่าจะเป็น