คุณพิสูจน์ได้อย่างไร: secx - cosx = sinx tanx

ใช้คำจำกัดความของ # secx # และ # Tanx #พร้อมกับตัวตน

# sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, เรามี

# secx-cosx = 1 / cosx-cosx #

# = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx #

# = (1-cos ^ 2x) / cosx #

# = sin ^ 2x / cosx #

# = sinx * sinx / cosx #

# = sinxtanx #

ตอบ:

ก่อนอื่นให้แปลงคำทั้งหมดเป็น # sinx # และ # cosx #.

ข้อสองใช้กฎผลรวมเศษส่วนกับ LHS

สุดท้ายเราก็ใช้อัตลักษณ์ของพีทาโกรัส: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #

คำอธิบาย:

ครั้งแรกในคำถามของรูปแบบเหล่านี้มันเป็นความคิดที่ดีที่จะแปลงคำทั้งหมดเป็นไซน์และโคไซน์: ดังนั้นแทนที่ #tan x # กับ #sin x / cos x #

และแทนที่ #sec x # กับ # 1 / cos x #.

LHS #sec x- cos x # กลายเป็น # 1 / cos x- cos x #.

The RHS # sin x tan x # กลายเป็น #sin x sin x / cos x # หรือ # sin ^ 2 x / cos x #.

ตอนนี้เราใช้กฎผลรวมเศษส่วนกับ LHS สร้างฐานร่วม (เช่นเดียวกับเศษส่วนจำนวนเช่น #1/3 +1/4 => 4/12 + 3/12 = 7/12)#.

LHS =# 1 / cos x- cos x => 1 / cos x- cos ^ 2 x / cos x => {1 - cos ^ 2 x} / cos x #.

สุดท้ายเราก็ใช้อัตลักษณ์ของพีทาโกรัส: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #! (หนึ่งในอัตลักษณ์ที่มีประโยชน์ที่สุดสำหรับปัญหาประเภทนี้)

โดยการจัดเรียงใหม่เราจะได้รับ # 1- cos ^ 2 x = sin ^ 2 x #.

เราแทนที่ # 1- cos ^ 2 x # ใน LHS ด้วย # sin ^ 2 x #.

LHS = # {1 - cos ^ 2 x} / cos x => {sin ^ 2 x} / cos x # ซึ่งเท่ากับ RHS ที่แก้ไข

ดังนั้น LHS = RHS Q.E.D.

สังเกตุรูปแบบทั่วไปของการได้สิ่งของในแง่ไซน์และโคไซน์โดยใช้กฎเศษส่วนและตัวตนของพีทาโกรัสมักจะแก้คำถามประเภทนี้

หากเราต้องการเราก็สามารถปรับเปลี่ยนด้านขวาให้เข้ากับด้านซ้าย

เราควรเขียน # sinxtanx # ในแง่ของ # sinx # และ # cosx #ใช้ตัวตน #COLOR (สีแดง) (Tanx = sinx / cosx) #:

# sinxtanx = sinx (sinx / cosx) = บาป ^ 2x / cosx #

ตอนนี้เราใช้ตัวตนของพีทาโกรัสซึ่งก็คือ # บาป ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. เราสามารถแก้ไขสิ่งนี้เพื่อแก้ปัญหาได้ # บาป ^ 2x #ดังนั้น: #COLOR (สีแดง) (บาป ^ 2x = 1-cos ^ 2x) #:

# บาป ^ 2x / cosx = (1-cos ^ 2x) / cosx #

ตอนนี้เพียงแค่แยกตัวเศษ:

# (1-cos ^ 2x) / cosx = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx = 1 / cosx-cosx #

ใช้ข้อมูลเฉพาะตัวซึ่งกันและกัน #COLOR (สีแดง) (secx = 1 / cosx #:

# 1 / cosx-cosx = secx-cosx #

ตอบ:

มันง่ายจริงๆ …

คำอธิบาย:

การใช้ตัวตน # Tanx = sinx / cosx #คูณ # sinx # เข้าสู่ตัวตนที่จะได้รับ:

# secx-cosx = sin ^ 2x / cosx #

จากนั้นคูณ # cosx # ผ่านสมการเพื่อให้ได้ผลผลิต:

# 1 cos ^ 2x = sin ^ 2x #

เมื่อพิจารณาแล้วว่า # secx # เป็นสิ่งที่ตรงกันข้าม # cosx #.

ในที่สุดใช้ตัวตนตรีโกณมิติ # 1 cos ^ 2x = sin ^ 2x #คำตอบสุดท้ายจะเป็น:

# บาป ^ 2x = sin ^ 2x #

คุณพิสูจน์ได้อย่างไร (cosA + cosB) ^ 2 + (sinA + sinB) ^ 2 = 4 * cos ^ 2 ((A-B) / 2)? 2)?

LHS = (cosA + cosB) ^ 2 + (sinA + sinB) ^ 2 = [2 * cos ((A + B) / 2) * cos ((AB) / 2)] ^ 2+ [2 * sin (( A + B) / 2) * cos ((AB) / 2)] ^ 2 = 4cos ^ 2 ((AB) / 2) [sin ^ 2 ((A + B) / 2) + cos ^ 2 (( + B) / 2)] = 4cos ^ 2 ((AB) / 2) * 1 = 4cos ^ 2 ((AB) / 2) = RHS

คุณพิสูจน์ได้อย่างไร (cotx + cscx / sinx + tanx) = (cotx) (cscx)

ตรวจสอบด้านล่าง (cotx + cscx) / (sinx + tanx) = (cotx) (cscx) (cosx / sinx + 1 / sinx) / (sinx + sinx / cosx) = (cotx) (cscx) (cossc + 1) / sinx) / ((sinxcosx) / cosx + sinx / cosx) = (cotx) (cscx) ((cosx + 1) / sinx) / ((sinx (cosx + 1)) / cosx) = (cotx) (cscx) ) (ยกเลิก (cosx + 1) / sinx) * (cosx / (sinxcancel ((cosx +1)))) = (cotx) (cscx) (cscx) (cosx / sinx * 1 / sinx) = (cotx) (cscx) (cscx) ( cotx) (cscx) = (cotx) (cscx)

คุณยืนยัน (1 + tanx) / (sinx) = cscx + secx อย่างไร

ใช้กฎต่อไปนี้: tanx = sinx / cosx 1 / sinx = cscx 1 / cosx = secx เริ่มจากด้านซ้ายมือ ("LHS"): => "LHS" = (1 + tanx) / sinx = 1 / sinx + tanx / sinx = cscx + tanx xx1 / sinx = cscx + ยกเลิก (sinx) / cosx xx1 / ยกเลิก (sinx) = cscx + 1 / cosx = สี (สีน้ำเงิน) (cscx + secx) QED