เวกเตอร์หน่วยคืออะไรมุมฉากของระนาบประกอบด้วย (i -2j + 3k) และ (i - j + k)?

ตอบ:

มีสองขั้นตอนในการค้นหาวิธีแก้ปัญหานี้: 1. ค้นหาผลิตภัณฑ์กากบาทของเวกเตอร์สองตัวเพื่อค้นหาเวกเตอร์มุมฉากกับระนาบที่มีพวกเขาและ 2. ปรับเวกเตอร์นั้นให้เป็นมาตรฐาน

คำอธิบาย:

ขั้นตอนแรกในการแก้ไขปัญหานี้คือการค้นหาผลิตภัณฑ์ข้ามของเวกเตอร์สองตัว ครอสโปรดัคตามนิยามพบเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบที่เวกเตอร์สองตัวคูณกันอยู่

# (i 2j + 3k) xx (i j + k) #

= # ((- 2 * 1) - (3 * -1)) i + ((3 * 1) - (1 * 1)) J + ((1 * -1) - (- 2 * 1)) k #

= # (- 2 - (- 3)) i + (3-1) J + (- 1 - (- 2)) k #

= # (i + 2j + k) #

นี่คือเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบ แต่มันยังไม่เป็นเวกเตอร์หน่วย ในการทำให้เป็นอันหนึ่งอันเดียวกันเราจำเป็นต้อง 'ปรับเวกเตอร์' ให้เป็นมาตรฐาน: หารแต่ละส่วนด้วยความยาว ความยาวของเวกเตอร์ # (ai BJ + CK) # มอบให้โดย:

#l = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) #

ในกรณีนี้:

#l = sqrt (1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt6 #

แบ่งองค์ประกอบแต่ละส่วนของ # (i + 2j + k) # โดย # sqrt6 # ให้ผลลัพธ์คำตอบของเราซึ่งก็คือหน่วยเวกเตอร์มุมฉากกับระนาบที่ # (i 2j + 3k) และ (i j + k) # โกหกคือ:

# (I / sqrt6 + 2 / sqrt6j + K / sqrt6) #