รวม lnx / 10 ^ x?

ตอบ:

ผิดพลาด

คำอธิบาย:

#int (LNX) / 10 ^ xdx # สามารถเขียนเป็น #int (LNX) xx10 ^ (- x) DX #.

ตอนนี้เราสามารถใช้สูตรสำหรับการรวมของผลิตภัณฑ์

# INTU * * * * * * * * วี DX u = * V-int (V * ดู่) #ที่ไหน # U = LNX #

เช่นนี้เรามี # du = (1 / x) DX # และปล่อยให้ # DV = x ^ (- 10) DX # หรือ # v = x ^ (- 9) / - 9 #

ดังนั้น # INTU * * * * * * * * วี DX = (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) -int (x ^ (- 9) / - 9) * DX / x #, หรือ

= # (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) + (1/9) INTX ^ (- 10) * DX #

= # (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) + (1/9) x ^ (- 9) / (- 9) + C #

= # (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) - (1/81) x ^ (- 9) + C #

= # -1/81 (x ^ (- 9)) (9lnx + 1) + C #

ตอบ:

ปรากฏว่าอนุกรมไม่สิ้นสุดเป็นส่วนหนึ่งของฉัน

คำอธิบาย:

เราสามารถใช้สูตรสำหรับอินทิกรัลของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชัน #u (x) และ v (x) #

# intucdotdv = ucdotv-int vcdotdu #

(กฎสามารถทำได้โดยการรวมกฎผลิตภัณฑ์ของความแตกต่าง)

ได้รับอินทิกรัล #intln (x) // 10 ^ xcdotdx # สามารถเขียนเป็น

#intln (x) xx10 ^ (- x) cdotdx #

ปล่อย # u = ln (x) และ dv = 10 ^ (- x) cdot dx #

จากสมมติฐานแรก # du = 1 / x cdotdx #

จากความเสมอภาคที่สอง # v = int 10 ^ -x cdot dx = -1 / ln 10 10 ^ -x + C #

เราได้รับ #intln (x) xx10 ^ (- x) cdotdx = ln (x) cdot (-1 / ln 10 10 ^ -x + C) -int (-1 / ln 10 10 ^ -x + C) cdot 1 / xcdot DX #

ที่ไหน # C # เป็นค่าคงที่ของการรวมกลุ่ม

# = ln (x) cdot (-1 / ln 10 10 ^ -x + C) + int1 / ln 10 10 ^ -xcdot 1 / xcdot dx-intCcdot 1 / xcdot dx #

# = ln (x) cdot (-1 / ln 10 10 ^ -x + C) + int1 / ln 10 10 ^ -xcdot 1 / xcdot dx-Ccdot ln | x | + C_2, #ลดความซับซ้อน

# = ln (x) cdot (-1 / ln 10 10 ^ -x) + 1 / ln 10 int 10 ^ -xcdot 1 / xcdot dx + C_2 #

มันลดการค้นหาส่วนประกอบสำคัญของ # intx ^ -1cdot 10 ^ -xcdot dx #

อีกครั้งโดยใช้อินทิกรัลด้านบนโดยสูตรชิ้นส่วน

ปล่อย # U = x ^ -1 # และ # dv = 10 ^ (- x) cdot dx #

# du = -x ^ -2cdot dx # และเรามีค่าสำหรับ # v #

# intx ^ -1cdot 10 ^ -xcdot dx = x ^ -1cdot (-1 / ln 10 10 ^ -x + C) -int (-1 / ln 10 10 ^ -x + C) cdot (-x ^ -2cdot DX) #

1. การตรวจสอบพบว่ามันเป็นการค้นพบ #int 10 ^ -xcdot x ^ -2cdot dx # และอื่น ๆ
2. ฟังก์ชัน #ln (x) # ถูกกำหนดไว้สำหรับ # x> 0 #
3. อินทิกรัลดูเหมือนจะเป็นอนุกรมอนันต์

ตอบ:

# (lny) (ln (ln_10 y)) - lny = (lny) (ln (ln_10 y) -1) #

จากนั้นใส่เข้าไป # 10 ^ x # สำหรับ #y #

# (ln 10 ^ x) (ln (ln_10 10 ^ x) -ln 10 ^ x #

คำอธิบาย:

ปล่อย # การ y = 10 ^ x #

# LNY = ln10 ^ x #

# LNY = x * ln10 #

# x = lny / ln10 = ln_10y = log_10exxlog_e y #

#:. DX = log_10exx1 / yxxdy #

#int (ln (ln_10 y)) / yxxlog_10exx1 / yxxdy #

# = int (ln (ln_10 y)) / y ^ 2xxlog_10exxdy; u = ln (ln_10 y) = ln (1 / ln10 * lny), dv = 1 / y #

# du = 1 / (ln y / ln10) * 1 / (yln10) = (ln10 / lny) (1 / (yln10)) = 1 / (ylny) #

# v = LNY #

# uv-intvdu -> (ln (ln_10 y)) lny-intlny * 1 / (ylny) #

# (lny) (ln (ln_10 y)) - int1 / y #

# (lny) (ln (ln_10 y)) - lny = (lny) (ln_10 y-1) #

จากนั้นใส่เข้าไป # 10 ^ x # สำหรับ #y #

#ln 10 ^ x (ln (ln_10 10 ^ x) -ln 10 ^ x #

#PROOF: #

# d / dy ((lny) (ln (ln_10 y) -1)) #

# f = lny, g = ln (ln_10 y) -1) #

# f '= 1 / y, g' = (1 / ln_10y) (1 / (yln10)) #

# FG + GF '#---> กฎของผลิตภัณฑ์

#lny * (1 / ln_10y) (1 / (yln10)) + (ln (ln_10y) -1) * 1 / y #

#lny (1 / (lny / ln10)) (1 / (yln10)) + (ln (ln_10y) -1) * 1 / y #

# lny (ln10 / lny) (1 / (yln10)) + (ln (ln_10y) -1) * 1 / y #

# 1 / y + (ln (ln_10 y) -1) / y #

# ((1 + ln (ln_10 y) -1)) / y #

# (LN (ln_10y)) / Y #

#ln (x) / 10 ^ x #---># ln_10 y = x # จากข้างบน