คุณหาข้อ จำกัด ของ (arctan (x)) / (5x) เมื่อ x เข้าหา 0 ได้อย่างไร

ตอบ:

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) = 1/5 #

คำอธิบาย:

หากต้องการค้นหาขีด จำกัด นี้โปรดสังเกตว่าทั้งตัวเศษและส่วนจะไปที่ #0# เช่น # x # วิธีการ #0#. ซึ่งหมายความว่าเราจะได้รับแบบฟอร์มที่ไม่แน่นอนดังนั้นเราจึงสามารถใช้กฎของ L'Hospital ได้

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) -> 0/0 #

ด้วยการใช้กฎของโรงพยาบาล L เราจะหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนทำให้เรา

#lim_ (x-> 0) (1 / (x ^ 2 + 1)) / (5) = lim_ (x-> 0) 1 / (5x ^ 2 + 5) = 1 / (5 (0) ^ 2 +5) = 1/5 #

เราสามารถตรวจสอบสิ่งนี้ได้ด้วยการทำกราฟฟังก์ชั่นเพื่อรับทราบว่ามีอะไรบ้าง # x # วิธีการ

กราฟของ #arctan x / (5x) #:

กราฟ {(arctan x) / (5x) -0.4536, 0.482, -0.0653, 0.4025}

ตอบ:

วิธีการแบบยาวที่ใช้ตรีโกณฯ มีคำอธิบายด้านล่าง

คำอธิบาย:

ในกรณีที่คุณไม่สะดวกกับกฎของ L'Hopital หรือยังไม่เคยสัมผัสกับมันอีกวิธีหนึ่งในการแก้ปัญหาเกี่ยวข้องกับการใช้นิยามของฟังก์ชันอาร์กแทนเจนต์

จำได้ว่าถ้า # tantheta = x #จากนั้น # theta = arctanx #; นี่หมายถึงว่าอาร์กแทนเจนต์นั้นกลับด้านของแทนเจนต์ เมื่อใช้ข้อมูลนี้เราสามารถสร้างสามเหลี่ยมที่ # tantheta = x # และ # theta = arctanx #:

จากแผนภาพนั้นเป็นที่ชัดเจนว่า # tantheta = x / 1 = x #. ตั้งแต่ # tantheta = sintheta / costheta #เราสามารถแสดงสิ่งนี้เป็น:

# tantheta = x #

# -> sintheta / costheta = x #

การใช้สิ่งนี้บวกกับความจริงที่ว่า # theta = arctanx #เราสามารถทำการทดแทนได้ภายในขีด จำกัด:

#lim_ (x-> 0) arctanx / (5x) #

# -> lim_ (theta-> arctan0) theta / (5sintheta / costheta) #

# -> lim_ (theta-> 0) theta / (5sintheta / costheta) #

นี่เทียบเท่ากับ:

#lim_ (theta-> 0) 5/1 * lim_ (theta-> 0) theta * lim_ (theta-> 0) costheta / sintheta #

# -> 5/1 * lim_ (theta-> 0) theta / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

เรารู้ว่า #lim_ (x-> 0) sintheta / theta = 1 #; ดังนั้น #lim_ (x-> 0) 1 / (sintheta / theta) = 1/1 # หรือ #lim_ (x-> 0) theta / sintheta = 1 #. และตั้งแต่ # cos0 = 1 #ขีด จำกัด จะประเมินเป็น:

# 5/1 * lim_ (theta-> 0) theta / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

#->1/5*(1)*(1)=1/5#