เวกเตอร์หน่วยคืออะไรมุมฉากของระนาบที่ประกอบด้วย (- 5 i + 4 j - 5 k) และ (4 i + 4 j + 2 k)?

ตอบ:

มีสองขั้นตอน: (1) ค้นหาผลิตภัณฑ์ครอสของเวกเตอร์, (2) ทำให้เวกเตอร์ผลลัพธ์เป็นมาตรฐาน ในกรณีนี้คำตอบคือ:

# ((28) / (46.7) i- (10) / (46.7) J- (36) / (46.7) k) #

คำอธิบาย:

ครอสโปรดัคของเวกเตอร์สองตัวให้ผลเวกเตอร์ที่เป็นมุมฉาก (ที่มุมฉาก) กับทั้งคู่

ครอสโปรดัคของเวกเตอร์สองตัว # (ก #ผม# + B #J# + C #k#)# และ # (P #ผม# + Q #J# + R #k#)# ได้รับจาก # (b * * * * * Q R-c) i + (c * P-A * R) + J (ก * Q-b * P) k #

ขั้นตอนแรกคือการหาผลิตภัณฑ์ข้าม:

# (- 5i + 4j 5k) xx (4i + 4j + 2k) = ((4 * 2) - (4 * -5) i + ((-5 * 4) - (- 5 * 2)) j + ((-5 * 4) - (4 * 4)) k = ((8 - (- 20)) i + (- 20 - (- 10) j + ((- 20) -16) k) = (28i-10j -36k) #

เวกเตอร์นี้มีมุมฉากสำหรับทั้งเวกเตอร์ดั้งเดิม แต่ไม่ใช่เวกเตอร์หน่วย ในการทำให้มันเป็นเวกเตอร์หน่วยเราจำเป็นต้องทำให้มันเป็นมาตรฐาน: หารแต่ละองค์ประกอบด้วยความยาวของเวกเตอร์

# L = sqrt (28 ^ 2 + (- 10) ^ 2 + (- 36) ^ 2) = 46.7 # หน่วย

หน่วยเวกเตอร์มุมฉากกับเวกเตอร์ดั้งเดิมคือ:

# ((28) / (46.7) i- (10) / (46.7) J- (36) / (46.7) k) #

นี่คือเวกเตอร์หน่วยหนึ่งที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ดั้งเดิม แต่มีอีกอันหนึ่ง - เวกเตอร์ในทิศทางตรงกันข้าม เพียงแค่เปลี่ยนสัญลักษณ์ของส่วนประกอบแต่ละอันให้เวกเตอร์ตัวที่สองตั้งฉากกับเวกเตอร์ดั้งเดิม

# (- (28) / (46.7) i + (10) / (46.7) + J (36) / (46.7) k) #

(แต่เป็นเวกเตอร์แรกที่คุณควรเสนอให้เป็นคำตอบสำหรับการทดสอบหรือการมอบหมาย!)