ขีด จำกัด ขณะที่ x เข้าใกล้อนันต์ของ (1 + a / x) ^ (bx) คืออะไร

โดยใช้ลอการิทึมและกฎของ l'Hopital

#lim_ {x ถึง infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab} #.

โดยใช้การทดแทน # t = A / x # หรือเทียบเท่า # x = A / T #, # (1 + A / x) ^ {} BX = (1 + T) ^ {{AB} / t} #

โดยใช้คุณสมบัติลอการิทึม

# = e ^ {ln (1 + t) ^ {{ab} / t} = e ^ {{ab} / t ln (1 + t)} = e ^ {ab {ln (1 + t) } / t} #

โดย l'Hopital's Rule

#lim_ {t to 0} {ln (1 + t)} / {t} = lim_ {t to 0} {1 / {1 + t 1}} / {1} = 1 #

ดังนั้น

#lim_ {x ถึง infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab lim_ {t ถึง 0} {ln (1 + t)} / {t}} = e ^ {ab} #

(บันทึก: #t ถึง 0 # เช่น #x เป็น infty #)