Cos [sin ^ (- 1) (- 1/2) + cos ^ (- 1) (5/13)] คืออะไร?

ตอบ:

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) + sin ^ (- 1) (- 1/2) = (12 + 5sqrt3) / 26 #

คำอธิบาย:

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) + sin ^ (- 1) (- 1/2) #

# = cos cos ^ (- 1) (5/13) -sin ^ (- 1) (1/2) #

# = cos cos ^ (- 1) (5/13) -cos ^ (- 1) (sqrt3 / 2) #

ตอนนี้ใช้ #cos ^ (- 1) x-cos ^ (- 1) y = XY + sqrt ((1-x ^ 2) * (1-Y ^ 2)) #, เราได้รับ,

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) -sin ^ (- 1) (1/2) #

# = cos (cos ^ (- 1) (13/05 * sqrt3 / 2 + sqrt ((1- (5/13) ^ 2) * (1- (sqrt (3) / 2) ^ 2)))) #

# = (5sqrt3) / 26 + 12/26 #

# = (12 + 5sqrt3) / 26 #

ตอบ:

โดยสูตรผลรวมมุมนั่น

# cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - sin (arcsin (-1/2)) sin (arccos (5/13)) #

# = (pm sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (pm 12/13) #

# = pm {5 sqrt {3}} / 6 pm 6/13 #

คำอธิบาย:

#x = cos (arcsin (1/2) + arccos (5/13)) #

คำถามเหล่านี้ทำให้เกิดความสับสนมากพอกับสัญกรณ์ฟังก์ชั่น funky inverse ปัญหาจริงของคำถามเช่นนี้เป็นการดีที่สุดที่จะปฏิบัติหน้าที่ผกผันเป็นหลายค่าซึ่งอาจหมายถึงการแสดงออกมีค่าหลายค่าเช่นกัน

เราสามารถดูค่าของ # x # สำหรับค่าตัวหลักของฟังก์ชันผกผัน แต่ฉันจะปล่อยให้เป็นหน้าที่ของผู้อื่น

อย่างไรก็ตามนี่คือโคไซน์ของผลรวมของสองมุมและนั่นหมายความว่าเราใช้สูตรมุมรวม:

#cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b #

# x = cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - sin (arcsin (-1/2)) sin (arccos (5/13)) #

โคไซน์ของอินเวอร์สโคไซน์และไซน์ของอินเวอร์สไซน์เป็นเรื่องง่าย โคไซน์ของอินเวอร์สไซน์และไซน์ของอินเวอร์สโคไซน์ก็ตรงไปตรงมาเช่นกัน แต่ก็มีประเด็นที่มีหลายประเด็นเข้ามา

โดยทั่วไปจะมีมุมที่ไม่ coterminal สองมุมที่แบ่งเป็นโคไซน์ที่กำหนดการปฏิเสธของกันและกันซึ่งไซน์จะเป็นการปฏิเสธของกันและกัน โดยทั่วไปจะมีมุมที่ไม่ coterminal สองมุมที่ใช้ร่วมกับไซน์ที่กำหนดมุมเสริมซึ่งจะมีค่าโคไซน์ที่เป็นลบกัน ดังนั้นทั้งสองวิธีที่เราขึ้นกับ # PM #. สมการของเราจะมีสอง # PM # และเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องทราบว่าพวกเขาเป็นอิสระไม่ได้เชื่อมโยง

ไปกันเถอะ #arcsin (-1/2) # เป็นครั้งแรก นี่เป็นหนึ่งใน cliches ของตรีโกณมิติ # -30 ^ circ # หรือ # -150 ^ circ #. โคไซน์จะเป็น # + sqrt {3} / 2 # และ # - sqrt {3} / 2 # ตามลำดับ

เราไม่จำเป็นต้องพิจารณามุม เราสามารถคิดถึงสามเหลี่ยมมุมฉากตรงข้ามกับ 1 กับด้านตรงข้ามมุมฉาก 2 และเกิดขึ้นใกล้กัน # sqrt {3} # และโคไซน์ # pm sqrt {3} / 2 #. หรือถ้าคิดมากเกินไป # cos ^ 2theta + sin ^ 2 theta = 1 # แล้วก็ #cos (theta) = pm sqrt {1 - sin ^ 2 theta} # ซึ่งกลไกให้เราพูดว่า:

# cos (arcsin (-1/2)) = pm sqrt {1 - (-1/2) ^ 2} = pm sqrt {3} / 2 #

ในทำนองเดียวกัน #5,12,13# Pythagorean Triple ใช้ที่นี่แล้ว

#sin (arccos (5/3)) = pm sqrt {1 - (5/13) ^ 2} = pm 12/13 #

# x = (pm sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (pm 12/13) #

#x = pm {5 sqrt {3}} / 6 pm 6/13 #