ฉันจะพิสูจน์สิ่งนี้ได้อย่างไร นี่จะใช้ทฤษฎีบทจากการวิเคราะห์จริงหรือไม่?

# "ใช้คำจำกัดความของอนุพันธ์:" #

#f '(x) = lim_ {h-> 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# "ที่นี่เรามี" #

#f '(x_0) = lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - f (x_0)) / h #

#g '(x_0) = lim_ {h-> 0} (g (x_0 + h) - g (x_0)) / h #

# "เราต้องพิสูจน์ว่า" #

#f '(x_0) = g' (x_0) #

#"หรือ"#

#f '(x_0) - g' (x_0) = 0 #

#"หรือ"#

#h '(x_0) = 0 #

# "กับ" h (x) = f (x) - g (x) #

#"หรือ"#

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h) - f (x_0) + g (x_0)) / h = 0 #

#"หรือ"#

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h)) / h = 0 #

# "(เนื่องจาก" f (x_0) = g (x_0) ")" #

# "ตอนนี้" #

#f (x_0 + h) <= g (x_0 + h) #

# => lim <= 0 "ถ้า" h> 0 "และ" lim> = 0 "ถ้า" h <0 #

# "เราได้ทำการสันนิษฐานว่า f และ g แตกต่างกันไป" #

# "ดังนั้น" h (x) = f (x) - g (x) "ก็แตกต่างกันเช่นกัน" #

# "ดังนั้นขีด จำกัด ซ้ายต้องเท่ากับขีด จำกัด ขวาดังนั้น" #

# => lim = 0 #

# => h '(x_0) = 0 #

# => f '(x_0) = g' (x_0) #

ตอบ:

ฉันจะมอบวิธีแก้ปัญหาที่รวดเร็วกว่าใน http://socratic.org/s/aQZyW77G สำหรับสิ่งนี้เราจะต้องพึ่งพาผลลัพธ์ที่คุ้นเคยจากแคลคูลัส

คำอธิบาย:

กำหนด #h (x) = f (x) -g (x) #

ตั้งแต่ #f (x) le g (x) #, เรามี #h (x) ไฟล์ 0 #

ที่ # x = x_0 #, เรามี #f (x_0) = g (x_0) #, ดังนั้น #h (x_0) = 0 #

ดังนั้น # x = x_0 # เป็นจำนวนสูงสุดของฟังก์ชั่น differentiable # h (x) # ภายใน ช่วงเวลาที่เปิด # (A, B) #. ดังนั้น

#h ^ '(x_0) = 0 หมายถึง #

#f ^ '(x_0) -g ^' (x_0) แสดงถึง #

#f ^ '(x_0) = g ^' (x_0) #