คุณจะพิสูจน์ (tanx + sinx) / (2tanx) = cos ^ 2 (x / 2) ได้อย่างไร

เราต้องการตัวตนสองตัวนี้เพื่อทำการพิสูจน์ให้สมบูรณ์:

# Tanx = sinx / cosx #

#cos (x / 2) = + - sqrt ((1 + cosx) / 2) #

ฉันจะเริ่มต้นด้วยด้านขวาแล้วจัดการมันจนกว่ามันจะดูเหมือนด้านซ้าย:

# RHS = cos ^ 2 (x / 2) #

#COLOR (สีขาว) (RHS) = (cos (x / 2)) ^ 2 #

#COLOR (สีขาว) (RHS) = (+ - sqrt ((1 + cosx) / 2)) ^ 2 #

#COLOR (สีขาว) (RHS) = (1 + cosx) / 2 #

#COLOR (สีขาว) (RHS) = (1 + cosx) / 2color (สีแดง) (* sinx / sinx) #

#COLOR (สีขาว) (RHS) = (sinx + sinxcosx) / (2sinx) #

#COLOR (สีขาว) (RHS) = (sinx + sinxcosx) / (2sinx) สี (สีแดง) (* (1 / cosx) / (1 / cosx)) #

#COLOR (สีขาว) (RHS) = (sinx / cosx + (sinxcosx) / cosx) / (2sinx / cosx) #

#COLOR (สีขาว) (RHS) = (Tanx + sinx) / (2tanx) #

#COLOR (สีขาว) (RHS) = LHS #

นั่นเป็นข้อพิสูจน์ หวังว่านี่จะช่วยได้!

เราพยายามที่จะพิสูจน์ตัวตน:

# (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) #

พิจารณา LHS ของนิพจน์และใช้นิยามของแทนเจนต์:

# LHS = (tanx + sinx) / (2tanx) #

# = (sinx / cosx + sinx) / (2 (sinx / cosx)) #

# = (cosx / sinx) ((sinx / cosx + sinx) / 2) #

# = (cosx / sinx * sinx / cosx + cosx / sinx * sinx) / 2 #

# = (1 + cosx) / 2 #

ตอนนี้พิจารณา RHS และใช้ข้อมูลประจำตัว:

# cos2A - = 2cos ^ 2A - 1 #

ให้เรา:

# cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2) - 1 => 1 + cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2) #

#:. cos ^ 2 (x / 2) = (1 + cosx) / 2 = RHS #

ดังนั้น:

# LHS = RHS => (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) # QED

# LHS = (Tanx + sinx) / (2tanx) #

# = (ยกเลิก (Tanx) (1 + sinx / Tanx)) / (2cancel (Tanx)) #

# = (1 + cosx) / 2 = (2cos ^ 2 (x / 2)) / 2 = cos ^ 2 (x / 2) = RHS #

คุณจะพิสูจน์ cos ^ 4 (x) - sin ^ 4 (x) = cos (2x) ได้อย่างไร

LHS = cos ^ 4x-sin ^ 4x = (cos ^ 2x + sin ^ 2x) (cos ^ 2x-sin ^ 2x) = 1 * cos2x = cos2x = RHS

คุณจะพิสูจน์ tan (x / 2) = sinx + cosxcotx-cotx ได้อย่างไร

พัฒนาด้านขวา เรารู้ว่าสีแทน (x / 2) = (1 - cos (x)) / sin (x) ดังนั้นเราพัฒนาด้านขวาของความเท่าเทียมกัน cot (x) = 1 / tan (x) ดังนั้น: sin (x) + cos (x) cot (x) - cot (x) = (sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) - cos (x) )) / sin (x) = (1-cos (x)) / sin (x) = tan (x / 2)

คุณจะพิสูจน์ Tan ^ 2 (x / 2 + Pi / 4) = (1 + sinx) / (1-sinx) ได้อย่างไร?

ข้อพิสูจน์ด้านล่าง (มันยาวมาก) ไม่ทำงานย้อนหลัง (แต่การเขียนทำไปข้างหน้าก็ใช้ได้เช่นกัน): (1 + sinx) / (1-sinx) = (1 + sinx) / (1-sinx) * (1 + sinx) / (1 + sinx) = (1 + sinx) ^ 2 / (1-sin ^ 2x) = (1 + sinx) ^ 2 / cos ^ 2x = ((1 + sinx) / cosx) ^ 2 จากนั้น ทดแทนในสูตร t (คำอธิบายด้านล่าง) = ((1+ (2t)) ((1 + t ^ 2)) / ((1-t ^ 2) / (1 + t ^ 2))) ^ 2 = (( 1 + t ^ 2 + 2t) / (1 + t ^ 2)) / ((1-t ^ 2) / (1 + t ^ 2))) ^ ^ = ((1 + t ^ 2 + 2t) / (1-t ^ 2)) ^ 2 = ((1 + 2t + t ^ 2) / (1-t ^ 2)) ^ 2 = ((1 + t) ^ 2 / (1-t ^ 2)) ^ 2 = ((1 + t) ^ 2 / ((1-t) (1 + t))) ^ 2 = ((1 + t) / (1-t)) ^ 2 = ((1 + tan ( x / 2)) / (1-tan (x / 2))) ^ 2