ค่าใดของ m ที่สมการ x (x-1) (x-2) (x-3) = m มีจำนวนจริงทั้งหมด

ตอบ:

#m le (5/4) ^ 2-1 #

คำอธิบาย:

เรามีสิ่งนั้น #x (x - 1) (x - 2) (x - 3) - m = x ^ 4-6x ^ 3 + 11x ^ 2-6x-m #

ตอนนี้ทำ

# x ^ 4-6x ^ 3 + 11x ^ 2-6x-m = (x-A) ^ 4 + B (x-A) ^ 2 + C # และหาค่าสัมประสิทธิ์ที่เราได้รับ

# {(a ^ 4 + a ^ 2 b + c + m = 0), (4 a ^ 3 + 2 a b-6 = 0), (11 - 6 a ^ 2 - b = 0), (4 a -6 = 0):} #

การแก้เพื่อ # A, B, C # เราได้รับ

# A = 3/2, B = -5/2, c = 1/16 (9-16m) # หรือ

# x ^ 4-6x ^ 3 + 11x ^ 2-6x-m = (x-3/2) ^ 4-5 / 2 ท่าน (x-3/2) ^ 2 + 1/16 (9-16m) = 0 #

การแก้สมการนี้สำหรับ # x # เราได้รับ

#x = 1/2 (3 pm sqrt (5 pm 4sqrt (m + 1))) #

รากเหล่านั้นเป็นจริงถ้า # 5 pm 4sqrt (m + 1) ge 0 # หรือ

#m le (5/4) ^ 2-1 #