อนุพันธ์ของ cot ^ 2 (x) คืออะไร?

ตอบ

# d / dx cot ^ 2 (x) = -2cot (x) csc ^ 2 (x) #

คำอธิบาย

คุณจะใช้กฎลูกโซ่เพื่อแก้ปัญหานี้ ในการทำเช่นนั้นคุณจะต้องพิจารณาว่าฟังก์ชั่น "outer" คืออะไรและฟังก์ชั่น "inner" ที่ประกอบในฟังก์ชั่นด้านนอกคืออะไร

ในกรณีนี้, #cot (x) # เป็นฟังก์ชั่น "inner" ที่ประกอบขึ้นเป็นส่วนหนึ่งของ # เปล ^ 2 (x) #. หากต้องการดูอีกวิธีขอแสดง # U = เปล (x) # ดังนั้น # U ^ 2 = เปล ^ 2 (x) #. คุณสังเกตเห็นว่าฟังก์ชั่นคอมโพสิตทำงานที่นี่หรือไม่? ฟังก์ชัน "outer" ของ # U ^ 2 # กำลังสองฟังก์ชันภายในของ # U = เปล (x) #. ฟังก์ชั่นด้านนอกกำหนดสิ่งที่เกิดขึ้นกับฟังก์ชั่นด้านใน

อย่าปล่อยให้ # ยู# สร้างความสับสนให้คุณเพียงแสดงให้คุณเห็นว่าฟังก์ชั่นหนึ่งประกอบกับอีกฟังก์ชันหนึ่งอย่างไร คุณไม่จำเป็นต้องใช้มัน เมื่อคุณเข้าใจสิ่งนี้คุณจะได้รับ

กฎลูกโซ่คือ:

#F '(x) = f' (g (x)) (g '(x)) #

หรือในคำพูด:

อนุพันธ์ของฟังก์ชั่นด้านนอก (ที่มีฟังก์ชั่นภายในเหลืออยู่คนเดียว!) ครั้ง อนุพันธ์ของฟังก์ชันด้านใน

1) อนุพันธ์ของฟังก์ชั่นด้านนอก # U ^ 2 = เปล ^ 2 (x) # (ด้วยฟังก์ชั่นด้านซ้ายคนเดียว) คือ:

# d / dx u ^ 2 = 2u #

ฉันกำลังจะจากไป #ยู# ในตอนนี้ แต่คุณสามารถย่อยได้ # U = เปล (x) # ถ้าคุณต้องการในขณะที่คุณกำลังทำตามขั้นตอน โปรดจำไว้ว่าสิ่งเหล่านี้เป็นเพียงขั้นตอนอนุพันธ์ที่แท้จริงของคำถามจะแสดงที่ด้านล่าง)

2) อนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน:

# d / dx cot (x) = d / dx 1 / tan (x) = d / dx sin (x) / cos (x) #

รอก่อน! คุณต้องทำกฎความฉลาดทางตรงนี้เว้นแต่ว่าคุณจะจำอนุพันธ์ของได้ #cot (x) #

# d / dx cos (x) / sin (x) = (- sin ^ 2 (x) -cos ^ 2x) / (sin ^ 2 (x)) = - (sin ^ 2 (x) + cos ^ 2x) / (sin ^ 2 (x)) = -1 / (sin ^ 2 (x)) = -csc ^ 2 (x) #

การรวมสองขั้นตอนผ่านการคูณเพื่อให้ได้อนุพันธ์:

# d / dx cot ^ 2 (x) = -2cot (x) csc ^ 2 (x) #

อนุพันธ์ของ (-x ^ 2 + 5) / (x ^ 2 + 5) ^ 2 คืออะไร

Y '= (-2x (x ^ 2 +5) ^ 2 - 2 (-x ^ 2 + 5) (x ^ 2 + 5) (2x)) / ((x ^ 2 +5) ^ 2) ^ 2 y '= (-2x (x ^ 2 +5) ^ 2 - 2 (-x ^ 2 + 5) (x ^ 2 + 5) (2x)) / ((x ^ 2 +5) ^ 2) ^ 2 y '= (-2x (x ^ 4 + 10x +25) - 4x (-x ^ 4 - ยกเลิก (5x ^ 2) + ยกเลิก (5x ^ 2) + 25)) / ((x ^ 2 +5) ^ 4 y '= (-2x ^ 5 - 20x ^ 2 -50x + 4x ^ 5 - 100x) / ((x ^ 2 +5) ^ 4 y' = (2x ^ 5 - 20x ^ 2 - 150x) / (( x ^ 2 +5) ^ 4

อนุพันธ์ของ f (x) = sin (cos (tanx)) คืออะไร?

F '(x) = - วินาที ^ 2xsin (tanx) cos (cos (tanx)) f (x) = sin (g (x)) f' (x) = g '(x) cos (g (x)) g (x) = cos (h (x)) g '(x) = - h' (x) sin (h (x)) h (x) = tan (x) h '(x) = วินาที ^ 2x g '(x) = - วินาที ^ 2xsin (tanx) g (x) = cos (tanx) f' (x) = - วินาที ^ 2xsin (tanx) cos (cos (tanx))

อนุพันธ์ของ f (x) = cot ^ -1 (x) คืออะไร?

โดยความแตกต่างโดยนัย f '(x) = - 1 / {1 + x ^ 2} ให้เราดูรายละเอียดบางอย่าง โดยการแทนที่ f (x) โดย y, y = cot ^ {- 1} x โดยเขียนใหม่ในแง่ของโคแทนเจนต์, Rightarrow coty = x โดยปริยายโดยแยกความแตกต่างด้วยความเคารพ x, Rightarrow -csc ^ 2ycdot {dy} / {dx} = 1 โดยหารด้วย -csc ^ 2y, Rightarrow {dy} / {dx} = - 1 / {csc ^ 2y} โดยตรีโกณมิติ csc ^ 2y = 1 + cot ^ 2y = 1 + x ^ 2, Rightarrow {dy} / {dx} = - 1 / {1 + x ^ 2} ดังนั้น f '(x) = - 1 / {1 + x ^ 2}