พิสูจน์ว่าฟังก์ชันนั้นไม่ได้ จำกัด อยู่ใน x_0 = 0? + ตัวอย่าง

ตอบ:

ดูคำอธิบาย

คำอธิบาย:

ตามนิยามของ Heine เกี่ยวกับฟังก์ชัน จำกัด เรามี:

#lim_ {x-> x_0} f (x) = g iff #

#AA {x_n} (lim_ {n -> + oo} x_n = x_0 => lim_ {n -> + oo} f (x_n) = g) #

ดังนั้นเพื่อแสดงว่ามีฟังก์ชั่น NO จำกัด ที่ # x_0 # เราต้องหาสองลำดับ # {} # x_n และ # {บาร์ (x) _n} # ดังนั้น

#lim_ {n -> + OO} x_n = lim_ {n -> + OO} บาร์ (x) = _n x_0 #

และ

#lim_ {n -> + OO} f (x_n) = lim_ {n -> + OO}! f (บาร์ (x) _n) #

ในตัวอย่างที่กำหนดลำดับดังกล่าวสามารถ:

# x_n = 1 / (2 ^ n) # และ #bar (x) _n = 1 / (3 ^ n) #

ทั้งสองลำดับมาบรรจบกัน # x_0 = 0 #แต่ตามสูตรของฟังก์ชันเรามี:

#lim _ {n -> + oo} f (x_n) = 2 # (*)

เพราะองค์ประกอบทั้งหมดใน # x_n # อยู่ใน #1,1/2,1/4,…#

และสำหรับ #bar (x) _n # เรามี:

# f (บาร์ (x) _1) = f (1) = 2 #

แต่สำหรับทุกคน #N> = 2 # เรามี: # f (บาร์ (x) _n) = 1 #

ดังนั้นสำหรับ #N -> + OO # เรามี:

#lim_ {n -> + OO} f (บาร์ (x) _n) = 1 # (**)

ทั้งสองลำดับครอบคลุม # x_0 = 0 #แต่ขีด จำกัด (*) และ (**) คือ ไม่ เท่ากับดังนั้นขีด จำกัด #lim_ {x-> 0} f (x) # ไม่ได้อยู่.

QED

คำจำกัดความสามารถพบได้ใน Wikipedia ได้ที่:

ตอบ:

นี่คือบทพิสูจน์โดยใช้การปฏิเสธของคำจำกัดความของการมีอยู่ของขีด จำกัด

คำอธิบาย:

เวอร์ชั่นสั้น

# f (x) # ไม่สามารถเข้าใกล้หมายเลขเดียว # L # เพราะในละแวกของ #0#, ฟังก์ชั่น # F # ใช้เวลากับค่าที่แตกต่างจากกันโดย #1#.

ดังนั้นไม่ว่าใครจะเสนออะไร # L #มีคะแนน # x # ใกล้ #0#ที่ไหน # f (x) # อย่างน้อยก็ #1/2# หน่วยห่างจาก # L #

รุ่นยาว

#lim_ (xrarr0) f (x) # มีอยู่ถ้าและถ้า

มีตัวเลข # L # เช่นนี้สำหรับทุกคน #epsilon> 0 #มี #delta> 0 # เช่นนั้นสำหรับทุกคน # x #, # 0 <abs (x) <delta # หมายถึง #abs (f (x) -L) <epsilon #

การปฏิเสธของสิ่งนี้คือ:

#lim_ (xrarr0) f (x) # ล้มเหลวที่จะมีอยู่ถ้าและถ้า

สำหรับทุกหมายเลข # L # มี #epsilon> 0 #เช่นนั้นสำหรับทุกคน #delta> 0 # มี # x #, ดังนั้น # 0 <abs (x) <delta # และ #abs (f (x) -L)> = epsilon #

ได้รับตัวเลข # L #ฉันจะปล่อยให้ #epsilon = 1/2 # (เล็กกว่านี้) # epsilon # จะทำงานเช่นกัน)

ตอนนี้ได้รับการบวก # # เดลต้าฉันต้องแสดงให้เห็นว่ามี # x # กับ # 0 <absx <delta # และ #abs (f (x) -L)> = 1/2 # (จำได้ว่า #epsilon = 1/2 #)

รับเป็นบวก # # เดลต้า ในที่สุด # 1/2 ^ n <เดลต้า # ดังนั้นจึงมี # x_1 # กับ #f (x_1) = 2 #.

นอกจากนี้ยังมีองค์ประกอบ # x_2 ใน RR- {1, 1/2, 1/4,.. } # กับ # 0 <x_2 <เดลต้า # และ #f (x_2) = 1 #

ถ้า #L <= (1/2) #จากนั้น #abs (f (x_1) -L)> = 1/2 #

ถ้า #L> = (1/2) #จากนั้น #abs (f (x_2) -L)> = 1/2 #