เวกเตอร์หน่วยใดที่เป็นมุมฉากกับระนาบที่มี (-i + j + k) และ (3i + 2j - 3k)

ตอบ:

มีเวกเตอร์สองหน่วยที่นี่ขึ้นอยู่กับคำสั่งของคุณในการดำเนินการ พวกเขาเป็น # (- 5i + 0j -5k) # และ # (5i + 0j 5k) #

คำอธิบาย:

เมื่อคุณหาผลคูณของสองเวกเตอร์คุณกำลังคำนวณเวกเตอร์ที่เป็นมุมฉากเป็นสองตัวแรก อย่างไรก็ตามการแก้ปัญหาของ # vecAoxvecB # มักจะเท่ากันและตรงข้ามในขนาดของ # vecBoxvecA #.

ในฐานะที่เป็นผู้ทบทวนอย่างรวดเร็วผลิตภัณฑ์ข้ามของ # vecAoxvecB # สร้างเมทริกซ์ 3x3 ที่มีลักษณะดังนี้:

# | i j k | #

# | A_x A_y A_z | #

# | B_x B_y B_z | #

และคุณได้แต่ละเทอมโดยการหาผลคูณของเทอมตามแนวทแยงมุมจากซ้ายไปขวาเริ่มจากตัวอักษรเวกเตอร์หน่วยที่กำหนด (i, j หรือ k) แล้วลบผลคูณของเทอมตามแนวทแยงมุมจากขวาไปซ้ายเริ่มจาก จดหมายเวกเตอร์หน่วยเดียวกัน:

# (A_yxxB_z-A_zxxB_y) i + (A_zxxB_x-A_x xxBz) j + (A_x xxB_y-A_yxxB_x) k #

สำหรับทั้งสองโซลูชันให้ตั้งค่า:

#vecA = - ฉัน + J + K #

# vecB = 3i + 2j-3k #

ลองดูวิธีแก้ปัญหาทั้งสอง:

1. # vecAoxvecB #

ตามที่ระบุไว้ข้างต้น:

# vecAoxvecB = (A_yxxB_z-A_zxxB_y) i + (A_zxxB_x-A_x xxBz) j + (A_x xxB_y-A_yxxB_x) k #

# vecAoxvecB = (1xx (-3) -1xx2) i + (1xx3 - (- 1) xx (-3)) j + (- 1 xx2-1xx3) k #

#vecAoxvecB = (- 3-2) i + (3-3) J + (- 2-3) k #

#COLOR (สีแดง) (vecAoxvecB = -5i + 0j-5k #

1. # vecBoxvecA #

เมื่อเปลี่ยนเป็นสูตรแรกให้นำเส้นทแยงมุมอีกครั้ง แต่เมทริกซ์นั้นแตกต่างกัน:

# | i j k | #

# | B_x B_y B_z | #

# | A_x A_y A_z | #

# vecBoxvecA = (A_zxxB_y-A_yxxB_z) ฉัน + (A_x xxB_z-A_z xxBx) j + (A_y xxB_x-A_x xxB_y k)

โปรดสังเกตว่าการลบถูกพลิกไปรอบ ๆ นี่คือสิ่งที่ทำให้รูปแบบ 'เท่ากับและตรงข้าม'

# vecBoxvecA = (1xx2-1xx (-3)) i + ((- 1) xx (-3) -1 xx3) j + (1 xx3 - (- 1) xx2) k #

# vecBoxvecA = (2 - (- 3)) i + (3-3) J + (3 - (- 2)) k #

#COLOR (สีฟ้า) (vecBoxvecA = 5I + 0j + 5k #