คุณแยกความแตกต่างโดยนัยอย่างไร y ^ 2 / x = x ^ 3 - 3yx ^ 2

ตอบ:

ใช้กฎผลิตภัณฑ์และผลหารและทำพีชคณิตน่าเบื่อมากมายเพื่อให้ได้ # DY / DX = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + Y ^ 2) / (2xy + x ^ 4) #.

คำอธิบาย:

เราจะเริ่มทางซ้ายมือ:

# Y ^ 2 / x #

เพื่อที่จะหาอนุพันธ์ของสิ่งนี้เราต้องใช้กฎความฉลาด:

# d / DX (U / v) = (u'v รังสียูวี ') / V ^ 2 #

เรามี # ยู y = ^ 2-> U '= 2ydy / DX # และ # v = x-> V '= 1 #ดังนั้น:

# d / DX (y ^ 2 / x) = ((2ydy / DX) (x) - (y ^ 2) (1)) / (x) ^ 2 #

# -> d / DX (y ^ 2 / x) = (2xydy / DX-Y ^ 2) / x ^ 2 #

ตอนนี้สำหรับด้านขวา:

# x ^ ^ 2 3-3yx #

เราสามารถใช้กฎผลรวมและการคูณกฎคงที่เพื่อแยกสิ่งนี้ออกเป็น:

# d / DX (x ^ 3) -3D / DX (YX ^ 2) #

ที่สองของเหล่านี้จะต้องมีกฎผลิตภัณฑ์:

# d / DX (UV) = u'v + uv '#

กับ # U = y-> U '= DY / DX # และ # v = x ^ 2> วี '= 2x #. ดังนั้น:

# d / DX (x ^ 3-3yx ^ 2) = 3x ^ 2 - ((DY / DX) (x ^ 2) + (y) (2x)) #

# -> d / DX (x ^ 3-3yx ^ 2) = 3x ^ 2-x ^ 2DY / DX + 2xy #

ปัญหาของเราตอนนี้อ่าน:

# (2xydy / DX-Y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2-x ^ 2DY / DX + 2xy #

เราสามารถเพิ่ม # x ^ 2DY / DX # ทั้งสองด้านและแยกแยะ a # DY / DX # เพื่อแยกมัน:

# (2xydy / DX-Y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2-x ^ 2DY / DX + 2xy #

# -> (2xydy / DX) / x ^ 2 + x ^ 2DY / dx- (y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2 + 2xy #

# -> DY / DX ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) = 3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2 #

# -> DY / DX = (3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) #

ฉันหวังว่าคุณจะชอบพีชคณิตเพราะนี่คือสมการที่น่ารังเกียจอย่างหนึ่งที่ต้องทำให้ง่ายขึ้น:

# DY / DX = (3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) #

# -> DY / DX = ((3x ^ 4) / x ^ 2 + (2x ^ 3y) / x ^ 2 + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 4 / x ^ 2) #

# -> DY / DX = ((3x ^ 4 + 2x ^ 3y + Y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy + x ^ 4) / x ^ 2) #

# -> DY / DX = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + Y ^ 2) / x ^ 2 * x ^ 2 / (2xy + x ^ 4) #

# -> DY / DX = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + Y ^ 2) / (2xy + x ^ 4) #