ตอบ:
# frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # หรือ # ประมาณ 1.302054638 … #
คำอธิบาย:
ตัวตนที่สำคัญที่สุดอันดับหนึ่งสำหรับการแก้ปัญหาทุกชนิดด้วยผลิตภัณฑ์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดกำลังแปลงให้เป็นปัญหาของผลรวมอนันต์:
# prod_ {k = 1} ^ {n} a_k = a_1 * a_2 * a_3 … = e ^ {ln (a_1)} * e ^ {ln (a_2)} * e ^ {ln (a_3)}.. #
EMPHASIS:
# = exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln (a_k) #
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
แต่ก่อนที่เราจะทำสิ่งนี้ได้เราต้องจัดการกับ # frac {1} {n ^ 2} ในสมการและ btw เรียกว่าผลิตภัณฑ์อนันต์ L:
# L = lim_ {n to + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1} {n}} #
# = lim_ {n to + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} n ^ 2 (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #
# = lim_ {n to + infty} frac {n ^ 2} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} = lim_ {n to + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #
ตอนนี้เราสามารถแปลงเป็นผลรวมอนันต์:
# L = lim_ {n to + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n} } = lim_ {n to + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln ((1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}}) #
ใช้คุณสมบัติลอการิทึม:
# L = lim_ {n to + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #
และใช้คุณสมบัติ จำกัด:
# L = exp lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
ลองเรียกผลรวมอนันต์ S:
# S = lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #
และจำไว้เสมอว่า
# L = exp (S) #
ตอนนี้ลองแก้คำถามของคุณโดยแปลงจาก RIEMANN SUM เพื่อ DEFINITE INTEGRAL:
จำนิยามของผลรวมของ Riemann ได้:
EMPHASIS:
# int_ {a} ^ {b} f (x) dx = lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n })) * frac {ba} {n} #
ปล่อย
# lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n})) * frac {ba} {n} = lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = S #
ตอนนี้ขอ # f (x) = ln (1 + x ^ 2) และ a = 0 #
# f (k (frac {b} {n})) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #
ดังนั้น b = 1 คือ
# f (frac {k} {n}) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #
ดังนั้น,
# S = lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
แก้หา # int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #:
ใช้การรวมโดยชิ้นส่วน:
# int uv dx = u int v dx - int (u '* int vdx) dx #
ปล่อย # u = ln (1 + x ^ 2) และ v = 1 #
จากนั้นใช้กฎลูกโซ่และอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติเพื่อรับ # u '= 1 / (1 + x ^ 2) * 2x = frac {2x} {1 + x ^ 2} #
และใช้กฎพลังงานเพื่อรับ: # int 1dx = x #
# int ln (1 + x ^ 2) dx = ln (1 + x ^ 2) * x - int (frac {2x} {1 + x ^ 2} * x) dx #
# = ln (1 + x ^ 2) * x - int frac {2x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #
# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #
# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1 -1} {x ^ 2 + 1} dx # ใช้กฎการลบ:
# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1} {x ^ 2 + 1} - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #
# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int1 - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #
ใช้กฎกำลังไฟฟ้าสำหรับอินทิกรัลแรกและอินทิกรัลสองคือฟังก์ชันตรีโกณมิติมาตรฐาน # arctan (x) # (ค่าผกผันของฟังก์ชันแทนเจนต์)
# = xln (1 + x ^ 2) - 2 x - arctan (x) #
ดังนั้น, # int ln (1 + x ^ 2) dx = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
ทีนี้แก้หาอินทิกรัล จำกัด เขต:
# S = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #
เรารู้ว่าการต่อต้านอนุพันธ์นั้น # F (x) = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #ดังนั้น
# S = F (x) | _ {x = 0} ^ {x = 1} = F (1) - F (0) #
#S = 1ln (1 + 1 ^ 2) - 2 (1) + 2 arctan (1) - 0 + 0 - arctan (0) #
โปรดทราบว่า arctan (1) คือ 45 °หรือ # frac { pi} {4} # (เรียกคืนสามเหลี่ยมมุมฉากพิเศษที่มีความยาวด้าน 1,1 # sqrt {2} # และมุม 45 °, 45 °, 90 °) และ # arctan (0) = 0 #
ดังนั้น #S = ln (2) - 2 + 2 (frac { pi} {4}) = ln (2) - 2 + frac { pi} {2} #
หรือ # ประมาณ 0.263943507354 … #
# L = exp S = exp ln (2) - 2 + frac { pi} {2} = e ^ {ln (2)} * e ^ {- 2} * e ^ { frac { pi} {2}} #
# L = 2 * frac {1} {e ^ 2} * (e ^ {pi}) ^ {1/2} #
# L = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} #
ดังนั้นการแก้ปัญหาคือ # lim_ {n to + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1} {n }} = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # หรือ # ประมาณ 1.302054638 … #
