อนุพันธ์ของ y = (sinx) ^ x คืออะไร?

ตอบ:

# dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

คำอธิบาย:

ใช้ความแตกต่างลอการิทึม

#y = (sinx) ^ x #

#lny = ln ((sinx) ^ x) = xln (sinx) # ใช้คุณสมบัติของ # LN #)

สร้างความแตกต่างโดยปริยาย: (ใช้กฎผลิตภัณฑ์และ ruel chain)

# 1 / y dy / dx = 1ln (sinx) + x 1 / sinx cosx #

ดังนั้นเรามี:

# 1 / y dy / dx = ln (sinx) + x cotx #

แก้หา # DY / DX # โดยการคูณด้วย #y = (sinx) ^ x #, # dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

ตอบ:

# d / DX (sinx) ^ x = (LN (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

คำอธิบาย:

วิธีที่ง่ายที่สุดในการดูสิ่งนี้คือการใช้:

# (sinx) ^ x = E ^ (LN ((sinx) ^ x)) = E ^ (XLN (sinx)) #

การหาอนุพันธ์ของสิ่งนี้ทำให้:

# d / DX (sinx) ^ x = (D / dxxln (sinx)) จ ^ (XLN (sinx)) #

# = (LN (sinx) + XD / DX (LN (sinx))) (sinx) ^ x #

# = (LN (sinx) + x (D / dxsinx) / sinx) (sinx) ^ x #

# = (LN (sinx) + xcosx / sinx) (sinx) ^ x #

# = (LN (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

ตอนนี้เราต้องทราบว่าถ้า # (sinx) ^ x = 0 #, #ln ((sinx) ^ x) # ไม่ได้กำหนด

อย่างไรก็ตามเมื่อเราวิเคราะห์พฤติกรรมของฟังก์ชั่นรอบตัว # x #สิ่งนี้จะเก็บไว้เราพบว่าฟังก์ชันทำงานได้ดีพอที่จะใช้งานได้เพราะถ้า:

# (sinx) ^ x # วิธีการ 0

แล้ว:

#ln ((sinx) ^ x) # จะเข้าใกล้ # -oo #

ดังนั้น:

# อี ^ (LN ((sinx) ^ x)) # จะเข้าหา 0 เช่นกัน

นอกจากนี้เราทราบว่าถ้า #sinx <0 #, #ln ((sinx) ^ x) # จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน อย่างไรก็ตามพีชคณิตและแคลคูลัสทั้งหมดที่เราใช้ทำงานในระนาบเชิงซ้อนเช่นกันดังนั้นนี่จึงไม่ใช่ปัญหา

ตอบ:

ให้เป็นปกติมากกว่านี้…

คำอธิบาย:

# d / dx f (x) ^ g (x) = g (x) / f (x) f '(x) + g' (x) ln (f (x)) f (x) ^ G (x) #