สมการของเส้นที่เป็นเรื่องปกติของเส้นโค้งขั้วโลก f (theta) = - 5theta- sin ((3theta) / 2-pi / 3) + tan ((theta) / 2-pi / 3) ที่ theta = ปี่

ตอบ:

บรรทัดคือ #y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #

คำอธิบาย:

พฤติกรรมของสมการนี้ได้มาจากกระบวนการที่ค่อนข้างยาว ก่อนอื่นฉันจะร่างขั้นตอนที่มาจะดำเนินการแล้วดำเนินการตามขั้นตอนเหล่านั้น

เราได้รับฟังก์ชั่นในพิกัดเชิงขั้ว # f (theta) #. เราสามารถหาอนุพันธ์ # f '(theta) #แต่เพื่อหาเส้นในพิกัดคาร์ทีเซียนจริง ๆ เราจะต้อง # DY / DX #.

เราสามารถหา # DY / DX # โดยใช้สมการต่อไปนี้:

# dy / dx = (f '(theta) sin (theta) + f (theta) cos (theta)) / (f' (theta) cos (theta) - f (theta) sin (theta)) #

จากนั้นเราจะแทรกความชันนั้นลงในแบบฟอร์มมาตรฐานคาร์ทีเซียน:

#y = mx + b #

และแทรกพิกัดเชิงขั้วที่แปลงคาร์ทีเซียนที่จุดสนใจของเรา:

#x = f (theta) cos (theta) #

#y = f (theta) sin (theta) #

บางสิ่งที่ควรจะชัดเจนในทันทีและจะช่วยเราประหยัดเวลา เรากำลังนำเส้นสัมผัสมาที่จุด #theta = pi #. ซึ่งหมายความว่า #sin (theta) = 0 # ดังนั้น…

1) สมการของเราสำหรับ # DY / DX # จะเป็นจริง:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

2) สมการของเราสำหรับพิกัดคาร์ทีเซียนของจุดของเราจะกลายเป็น:

#x = -f (theta) #

#y = 0 #

เริ่มที่จะแก้ปัญหาจริงแล้วลำดับแรกของธุรกิจของเราคือการค้นหา # f '(theta) #. มันไม่ยากแค่อนุพันธ์สามตัวที่มีกฎลูกโซ่ใช้กับสอง:

#f '(theta) = -5 - 3/2 cos ((3pi) / 2 - pi / 3) + 1/2 วินาที ^ 2 (theta / 2 - pi / 3) #

ตอนนี้เราอยากรู้ # f (PI) #:

#f (pi) = -5pi - sin ((7pi) / 6) + tan (pi / 6) #

# = -5pi - 1/2 + 1 / sqrt3 #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) #

และ # f '(PI) #…

#f '(pi) = -5 - 3/2 cos ((7pi) / 6) + 1/2 วินาที ^ 2 (pi / 6) #

# = -5 + (3sqrt3) / 4 + 2/3 #

# = (9sqrt3 - 52) / 12 #

ด้วยสิ่งเหล่านี้ในมือเราพร้อมที่จะพิจารณาความชันของเรา:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) * 12 / (9sqrt3 - 52) #

# = (6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52) #

เราสามารถเสียบมันเป็น # ม # ใน #y = mx + b #. จำได้ว่าก่อนหน้านี้เราได้พิจารณาแล้วว่า # การ y = 0 # และ #x = -f (theta) #:

# 0 = - ((6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3)) + b #

# 0 = - ((3 (1-10pi) + 2sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (sqrt3)) + b #

# 0 = - ((sqrt3 (1-10pi) + 2) / (9sqrt3 - 52)) (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) + b #

#b = ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) ^ 2) / (9sqrt3 - 52) #

เราสามารถรวมการตัดสินใจของเราก่อนหน้านี้ # ม # ด้วยความมุ่งมั่นของเราใหม่ # B # เพื่อให้สมการสำหรับสาย:

#y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #