โปรดแก้ปัญหา 11

ตอบ:

หาค่าต่ำสุดของ # 4 cos theta + 3 sin theta #

การรวมเชิงเส้นเป็นเฟสที่ถูกเลื่อนและปรับขนาดของคลื่นไซน์ขนาดที่กำหนดโดยขนาดของสัมประสิทธิ์ในรูปแบบขั้ว # sqrt {3 ^ 2 + 4 ^ 2} = 5, # ดังนั้นขั้นต่ำของ #-5#.

คำอธิบาย:

หาค่าต่ำสุดของ # 4 cos theta +3 บาป theta #

การรวมกันเชิงเส้นของไซน์และโคไซน์ของมุมเดียวกันคือการเลื่อนเฟสและการปรับสเกล เรารู้จักพีทาโกรัสทริปเปิล #3^2+4^2=5^2.#

ปล่อย # # พี เป็นมุมที่ #cos phi = 4/5 # และ #sin phi = 3/5 #. มุมมอง # # พี เป็นมูลค่าหลักของ #arctan (3/4) # แต่นั่นไม่สำคัญสำหรับเรา สิ่งที่สำคัญสำหรับเราคือเราสามารถเขียนค่าคงที่ของเราใหม่ได้: # 4 = 5 cos phi # และ # 3 = 5 sin phi #. ดังนั้น

# 4 cos theta +3 บาป theta #

# = 5 (เพราะ phi cos theta + บาป phi sin theta) #

# = 5 cos (theta - phi) #

อย่างน้อยก็มี #-5#.

ตอบ:

#-5# เป็นค่าต่ำสุดที่ต้องการ

คำอธิบาย:

หารสมการ # 3sinx + 4cosx # โดย #sqrt (ก ^ 2 + B ^ 2) # เพื่อลดความมันลงในแบบฟอร์ม #sin (x + -alpha) หรือ cos (x + -alpha) # ที่ไหน # A # และ # B #

เป็นค่าสัมประสิทธิ์ของ # sinx # และ # cosx # ตามลำดับ

# rarr3sinx + 4cosx #

# 5 = sinx * (3/5) + cosx * (4/5) #

ปล่อย # cosalpha = 5/3 # แล้วก็ # sinalpha = 5/4 #

ตอนนี้ # 3sinx + 4cosx #

# 5 = sinx * cosalpha + cosx * sinalpha #

# = 5sin (x + อัลฟา) = 5sin (x + อัลฟา) #

คุณค่าของ # 5sin (x + อัลฟา) # จะเป็นขั้นต่ำเมื่อ #sin (x + อัลฟา #) คือค่าต่ำสุดและค่าต่ำสุดของ #sin (x + อัลฟา) # คือ #-1#.

ดังนั้นค่าต่ำสุดของ # 5sin (x + อัลฟา) = - 5 #