ตอบ:
คำอธิบาย:
คำนวณ sum_ (n = 0) ^ oo sqrt (n + 3) + sqrtn-2sqrt (n + 2)?
Telescoping ซีรี่ส์ 1 Sigma (sqrt (n + 2) - 2sqrt (n + 1) + sqrt (n)) Sigma (sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1) -sqrt (n + 1) + sqrt (n )) Sigma ((sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1)) ((sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1) )) + (- sqrt (n + 1) + sqrt (n)) ((sqrt (n + 1) + sqrt (n)) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n))) Sigma (1) / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) + (- 1) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n)))) นี่คือซีรีส์ที่ยุบ (เหลื่อม) เทอมแรกคือ -1 / (sqrt (2) + 1) = 1-sqrt2
วิธีการคำนวณผลรวมของสิ่งนี้? sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n
ดูด้านล่าง พิจารณา abs x <1 sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (- x) ^ n แต่ sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 และ d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 จากนั้น sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1 ) ^ 3
ช่วงเวลาของการลู่เข้าของ sum_ {n = 0} ^ { infty} (cos x) ^ n คืออะไร?
ดูด้านล่าง ใช้เอกลักษณ์พหุนาม (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) เรามี abs x <1 lim_ (n-> oo) ( x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x) จากนั้นสำหรับ x ne k pi, k ใน ZZ เรามี sum_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x)