ความชันของเส้นสัมผัสของ r = (sin ^ 2theta) / (- thetacos ^ 2theta) ที่ theta = (pi) / 4?

ตอบ:

ความลาดชันคือ #m = (4 - 5pi) / (4 - 3pi) #

คำอธิบาย:

นี่คือการอ้างอิงถึงแทนเจนต์ที่มีพิกัดเชิงขั้ว

จากการอ้างอิงเราได้รับสมการต่อไปนี้:

# dy / dx = (dr) / (d theta) sin (theta) + rcos (theta)) / ((dr) / (d theta) cos (theta) - rsin (theta)) #

เราจำเป็นต้องคำนวณ # (dr) / (d theta) # แต่โปรดสังเกตว่า #R (theta) # สามารถทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้ข้อมูลประจำตัว #sin (x) / cos (x) = tan (x) #:

#r = -tan ^ 2 (theta) / theta #

# (dr) / (d theta) = (g (theta) / (h (theta))) '= (g' (theta) h (theta) - h '(theta) g (theta)) / (h (theta)) ^ 2 #

#g (theta) = -tan ^ 2 (theta) #

#g '(theta) = -2tan (theta) วินาที ^ 2 (theta) #

#h (theta) = theta #

#h '(theta) = 1 #

# (dr) / (d theta) = (-2thetatan (theta) วินาที ^ 2 (theta) + tan ^ 2 (theta)) / (theta) ^ 2 #

ลองประเมินค่าข้างต้นที่ # ปี่ / 4 #

# sec ^ 2 (pi / 4) = 2 #

#tan (pi / 4) = 1 #

#r '(pi / 4) = (-2 (pi / 4) (1) (2) + 1) / (pi / 4) ^ 2 #

#r '(pi / 4) = (-2 (pi / 4) (1) (2) + 1) (16 / (pi ^ 2)) #

#r '(pi / 4) = (16- 16pi) / (pi ^ 2) #

หาค่า r at # ปี่ / 4 #:

#r (pi / 4) = -4 / pi = - (4pi) / pi ^ 2 #

หมายเหตุ: ฉันทำตัวส่วนด้านบน # Pi ^ 2 # ดังนั้นมันจึงเป็นเรื่องธรรมดากับตัวส่วนของ # R '# และจะยกเลิกเมื่อเราใส่ในสมการต่อไปนี้:

# dy / dx = (dr) / (d theta) sin (theta) + rcos (theta)) / ((dr) / (d theta) cos (theta) - rsin (theta)) #

ที่ # ปี่ / 4 # ไซน์และโคไซน์เท่ากันดังนั้นพวกมันจะยกเลิก

เราพร้อมที่จะเขียนสมการสำหรับความชัน m:

#m = (16 - 16pi + -4pi) / (16 - 16pi - -4pi) #

#m = (4 - 5pi) / (4 - 3pi) #