การฉายภาพของ (i -2j + 3k) บน (3i + 2j - 3k) คืออะไร?

ตอบ:

#proj_vec v vec u = (-15 / 11i-10 / 11j + 15 / 11k) #

คำอธิบาย:

เพื่อให้ง่ายต่อการอ้างอิงพวกมันมาเรียกเวกเตอร์แรกกัน #vec u # และที่สอง #vec v #. เราต้องการโครงการของ #vec u # ไปยัง #vec v #:

#proj_vec v vec u = ((vec u * vec v) / || vec v || ^ 2) * vec v #

นั่นคือในคำว่าประมาณการของเวกเตอร์ #vec u # บนเวกเตอร์ #vec v # คือผลคูณของจุดของเวกเตอร์สองตัว, หารด้วยกำลังสองของความยาวของ #vec v # คูณเวกเตอร์ #vec v #. โปรดทราบว่าชิ้นส่วนในวงเล็บคือสเกลาร์ที่บอกเราว่าไปตามทิศทางของไกลแค่ไหน #vec v # การฉายถึง

ก่อนอื่นเรามาหาความยาวของ #vec v #:

# || vec v || = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2 + (- 3) ^ 2) = sqrt22 #

แต่โปรดทราบว่าในการแสดงออกสิ่งที่เราต้องการคือ # || vec v || ^ 2 #ดังนั้นถ้าเรายกกำลังสองทั้งสองข้างเราจะได้ #22#.

ตอนนี้เราต้องการผลิตภัณฑ์ดอทของ #vec u # และ #vec v #:

#vec u * vec v = (1xx3 + (- 2) xx2 + 3xx (-3)) = (3-4-9) = (-10) #

(เพื่อค้นหาผลิตภัณฑ์ดอทเราคูณค่าสัมประสิทธิ์ของ #i, j และ k # และเพิ่มพวกเขา)

ตอนนี้เรามีทุกสิ่งที่เราต้องการ:

#proj_vec v vec u = ((vec u * vec v) / || vec v || ^ 2) * vec v = (-10/22) (3i + 2j 3k) #

# = (- 30 / 22i-20 / 22j + 30 / 22k) = (-15 / 11i-10 / 11j + 15 / 11k) #