คุณใช้นิยามขีด จำกัด เพื่อค้นหาความชันของเส้นสัมผัสกับกราฟ 3x ^ 2-5x + 2 ที่ x = 3 ได้อย่างไร

ตอบ:

ทำพีชคณิตจำนวนมากหลังจากใช้คำจำกัดความเพื่อค้นหาความชันที่ # x = 3 # คือ #13#.

คำอธิบาย:

คำจำกัดความ จำกัด ของอนุพันธ์คือ:

# f '(x) = lim_ (H-> 0) (f (x + H) -f (x)) / H #

หากเราประเมินขีด จำกัด นี้สำหรับ # 3x ^ 2-5x + 2 #เราจะได้รับการแสดงออกสำหรับ ตราสารอนุพันธ์ ของฟังก์ชั่นนี้ อนุพันธ์คือความชันของเส้นสัมผัส ณ จุดหนึ่ง ดังนั้นประเมินอนุพันธ์ที่ # x = 3 # จะให้ความชันของเส้นสัมผัสที่ # x = 3 #.

ด้วยสิ่งที่กล่าวมาเริ่มกันเลย:

# f '(x) = lim_ (H-> 0) (3 (x + H) ^ 2-5 (x + H) + 2- (3x ^ 2-5x + 2)) / H #

# f '(x) = lim_ (H-> 0) (3 (x ^ 2 + 2HX + H ^ 2) -5x-5H + 2-3x ^ 2 + 5x-2) / H #

# f '(x) = lim_ (H-> 0) (ยกเลิก (3x ^ 2) + 6hx + 3h ^ 2-ยกเลิก (5x) -5h + ยกเลิก (2) -cancel (3x ^ 2) + ยกเลิก (5x) -cancel (2)) / H #

# f '(x) = lim_ (H-> 0) (6hx + 3h ^ 2-5h) / H #

# f '(x) = lim_ (H-> 0) (ยกเลิก (H) (6x + 3h-5)) / ยกเลิก (H) #

# f '(x) = lim_ (H-> 0) 6x + 3h-5 #

การประเมินขีด จำกัด นี้ที่ # H = 0 #, # f '(x) = 6x + 3 (0) -5 = 6x-5 #

ตอนนี้เรามีอนุพันธ์เราแค่ต้องเสียบ # x = 3 # เพื่อค้นหาความชันของเส้นสัมผัสที่นั่น:

# f '(3) = 6 (3) -5 = 18-5 = 13 #

ตอบ:

ดูหัวข้อคำอธิบายด้านล่างหากครู / ตำราของคุณใช้ #lim_ (xrarra) (f (x) -f (ก)) / (x-A) #

คำอธิบาย:

การนำเสนอแคลคูลัสใช้สำหรับการกำหนดความชันของเส้นสัมผัสกับกราฟของ # f (x) # ตรงจุดที่ # x = a # คือ #lim_ (xrarra) (f (x) -f (ก)) / (x-A) # โดยมีเงื่อนไขว่า

(ตัวอย่างเช่นรุ่นที่ 8 ของ James Stewart แคลคูลัส หน้า 106 ในหน้า 107 เขาให้เทียบเท่า #lim_ (hrarr0) (f (A + เอช) -f (ก)) / H #.)

ด้วยคำจำกัดความนี้ความชันของเส้นสัมผัสกับกราฟของ #f (x) = 3x ^ 2-5x + 2 # ตรงจุดที่ # x = 3 # คือ

#lim_ (xrarr3) (f (x) -f (3)) / (x-3) = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2 - 3 (3) ^ 2-5 (3) 2) / (x-3) #

# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2-27 + 15-2) / (x-3) #

# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x-12) / (x-3) #

โปรดทราบว่าขีด จำกัด นี้มีรูปแบบที่ไม่แน่นอน #0/0# เพราะ #3# เป็นศูนย์ของพหุนามในตัวเศษ

ตั้งแต่ #3# เป็นศูนย์เรารู้ว่า # x-3 # เป็นปัจจัย ดังนั้นเราสามารถแยกตัวประกอบลดและลองประเมินอีกครั้ง

# = lim_ (xrarr3) (ยกเลิก ((x-3)) (3x + 4)) / ยกเลิก ((x-3)) #

# = lim_ (xrarr3) (3x + 4) = 3 (3) +4 = 13 #.

ขีด จำกัด คือ #13#ดังนั้นความชันของเส้นสัมผัสที่ # x = 3 # คือ #13#.