ตอบ:
อินทิกรัล จำกัด เขตคือ # 2int_3 ^ 5sqrt (25 - x ^ 2) dx #.
คำอธิบาย:
มีหลายวิธีในการเข้าถึงปัญหาการรวม แต่นี่คือวิธีที่ฉันแก้ไขปัญหานี้:
เรารู้ว่าสมการสำหรับวงกลมของเราคือ:
# x ^ 2 + y ^ 2 = 25 #
ซึ่งหมายความว่าสำหรับใด ๆ # x # ค่าเราสามารถกำหนดทั้งสอง # Y # ค่าด้านบนและด้านล่างจุดบนแกน x โดยใช้:
# y ^ 2 = 25 - x ^ 2 #
#y = sqrt (25-x ^ 2) #
ถ้าเราจินตนาการว่าเส้นที่ลากจากด้านบนของวงกลมไปด้านล่างมีค่าคงที่ # x # ค่า ณ จุดใดก็จะมีความยาวเป็นสองเท่า # Y # ค่าที่กำหนดโดยสมการข้างต้น
# r = 2sqrt (25 - x ^ 2) #
เนื่องจากเราสนใจในพื้นที่ระหว่างเส้น #x = 3 # และจุดสิ้นสุดของวงกลมที่ #x = 5 #นั่นจะเป็นขอบเขตที่ขาดไม่ได้ของเรา จากจุดนั้นการเขียนอินทิกรัล จำกัด เขตนั้นง่ายมาก:
#A = int_3 ^ 5rdx = 2int_3 ^ 5sqrt (25 - x ^ 2) dx #
ตอบ:
เป็นอีกทางเลือกหนึ่งในขั้วโลก
# = 25int_ {0} ^ {arcsin (4/5)} d psi - 12 #
คำอธิบาย:
คุณสามารถทำมันในขั้วได้เช่นกัน
วงกลมในขั้วโลกคือ r = 5 และใช้สูตรที่ง่ายที่สุดของพื้นที่ #A = 1/2 int r ^ 2 (psi) d psi # กลายเป็นโดยใช้สมมาตรเกี่ยวกับแกน x
#A = 2 ครั้ง (1/2 int_ {0} ^ {arcsin (4/5)} 5 ^ 2 d psi - สี {แดง} {1/2 * 3 * 4}) #
โดยที่บิตสีแดงดังแสดงในแรเงาสีแดงบนภาพวาด
# = 25int_ {0} ^ {arcsin (4/5)} d psi - 12 #
# = 25 psi _ {0} ^ {arcsin (4/5)} - 12 #
# = 25 arcsin (4/5) - 12 #
