นางสาวฟ็อกซ์ถามชั้นเรียนของเธอคือผลรวมของ 4.2 และสแควร์รูทของ 2 เหตุผลหรือไม่มีเหตุผล? แพทริคตอบว่าผลรวมจะไม่ลงตัว ระบุว่า Patrick ถูกต้องหรือไม่ถูกต้อง แสดงเหตุผลของคุณ

ตอบ:

ผลรวม # 4.2 + sqrt2 # ไม่มีเหตุผล มันสืบทอดคุณสมบัติการขยายทศนิยมที่ไม่ซ้ำของ #sqrt 2 #.

คำอธิบาย:

จำนวนไม่ลงตัว เป็นตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองตัว หากตัวเลขไม่มีเหตุผลการขยายทศนิยมจะดำเนินต่อไปเรื่อย ๆ โดยไม่มีรูปแบบและในทางกลับกัน

เรารู้อยู่แล้วว่า #sqrt 2 # ไม่มีเหตุผล การขยายทศนิยมเริ่มต้น:

#sqrt 2 = 1.414213562373095 … #

จำนวน #4.2# คือ มีเหตุผล; มันสามารถแสดงเป็น #42/10.# เมื่อเราเพิ่ม 4.2 เข้ากับการขยายทศนิยมของ #sqrt 2 #, เราได้รับ:

#sqrt 2 + 4.2 = สี (สีขาว) + 1.414213562373095 … #

#color (white) (sqrt 2) color (white) + color (white) (4.2 =) + 4.2 #

#color (white) (sqrt 2) color (white) + color (white) (4.2 =) บาร์ (color (white) (+) 5.614213562373095 …) #

จะเห็นได้อย่างง่ายดายว่าจำนวนนี้ยังไม่ยุติหรือมีรูปแบบการทำซ้ำดังนั้นจึงเป็นเหตุผล

โดยทั่วไปจำนวนรวมของจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะจะไม่ลงตัว; อาร์กิวเมนต์คล้ายกับข้างบน

ตอบ:

#COLOR (สีฟ้า) ("ถูกต้อง") #

คำอธิบาย:

ถ้าเราเริ่มต้นด้วยการพูดว่าผลรวมเป็นจำนวนตรรกยะ: จำนวนตรรกยะทั้งหมดสามารถเขียนได้เป็นผลหารของจำนวนเต็มสองจำนวน # A / bcolor (สีขาว) (88) # รุ่น B ประเภทสิทธิ! = 0 #

#4.2=21/5#

# 21/5 + sqrt (2) = a / b #

#sqrt (2) = a / b-21/5 #

#sqrt (2) = (5A-21b) / (5b) #

ผลิตภัณฑ์ของสองจำนวนเต็มเป็นจำนวนเต็ม:

ความแตกต่างของจำนวนเต็มสองจำนวนคือจำนวนเต็ม:

ดังนั้น:

# 5A-21b # เป็นจำนวนเต็ม

# # 5b เป็นจำนวนเต็ม

ดังนั้น:

# (5A-21b) / (5b) # มีเหตุผล

แต่เรารู้ว่า #sqrt (2) # ไม่มีเหตุผลดังนั้นนี่คือความขัดแย้งจากการสันนิษฐานของเราว่าผลรวมนั้นเป็นจำนวนตรรกยะดังนั้นผลรวมของจำนวนอตรรกยะและจำนวนตรรกยะจึงไม่มีเหตุผลเสมอ