ในห้องเรียนมีเด็ก 7 คน พวกเขาสามารถเข้าแถวสำหรับการพักผ่อนได้กี่วิธี

#7! = 7*6*5*4*3*2*1 = 5040. #

ปัญหานี้โดยเฉพาะคือ การเปลี่ยนแปลง. จำได้ว่าความแตกต่างระหว่างการเรียงสับเปลี่ยนกับชุดค่าผสมคือลำดับการเรียงสับเปลี่ยน เนื่องจากคำถามถามว่านักเรียนสามารถจัดแถวสำหรับการพักผ่อนได้หลายวิธี (เช่นมีคำสั่งซื้อที่แตกต่างกันจำนวนเท่าใด) นี่คือการเปลี่ยนแปลง

ลองนึกภาพตอนที่เราเติมตำแหน่งเพียงสองตำแหน่งตำแหน่งที่ 1 และตำแหน่งที่ 2 เพื่อแยกความแตกต่างระหว่างนักเรียนของเราเพราะลำดับเรื่องเราจะกำหนดจดหมายแต่ละฉบับจาก A ถึง G ทีนี้ถ้าเราเติมตำแหน่งเหล่านี้หนึ่ง ในแต่ละครั้งเรามีเจ็ดตัวเลือกเพื่อเติมตำแหน่งแรก: A, B, C, D, E, F และ G อย่างไรก็ตามเมื่อตำแหน่งนั้นเต็มเรามีเพียงหกตัวเลือกสำหรับวินาทีเพราะหนึ่งใน นักเรียนได้รับการจัดตำแหน่งแล้ว

ตัวอย่างเช่นสมมติว่า A อยู่ในอันดับที่ 1 จากนั้นคำสั่งที่เป็นไปได้ของเราสำหรับตำแหน่งที่สองของเราคือ AB (เช่น A ในตำแหน่งที่ 1 และ B ในตำแหน่งที่ 2), AC, AD, AE, AF, AG อย่างไรก็ตาม … นี่ไม่ได้หมายถึงคำสั่งซื้อที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่นี่เนื่องจากมี 7 ตัวเลือกสำหรับตำแหน่งแรก ดังนั้นถ้า B อยู่ในตำแหน่งที่ 1 เราจะมีความเป็นไปได้คือ BA, BC, BD, BE, BF และ BG ดังนั้นเราจึงเพิ่มจำนวนตัวเลือกเข้าด้วยกัน: #7*6 = 42#

มองย้อนกลับไปที่ปัญหาเริ่มต้นมีนักเรียน 7 คนที่สามารถอยู่ในตำแหน่งที่ 1 (อีกครั้งโดยสมมติว่าเราเติมตำแหน่งที่ 1 ถึง 7 ตามลำดับ) เมื่อตำแหน่ง 1 ถูกกรอกข้อมูลแล้วนักเรียน 6 คนสามารถอยู่ในตำแหน่งที่ 2 ด้วยตำแหน่งที่ 1 และ 2 ที่เต็มไปแล้ว 5 สามารถวางตำแหน่งที่ 3 และอื่น ๆ ได้จนกว่าจะมีนักเรียนเพียงคนเดียวเท่านั้นที่สามารถอยู่ในตำแหน่งสุดท้าย ดังนั้นเมื่อคูณจำนวนตัวเลือกของเราเข้าด้วยกันเราก็จะได้ #7*6*5*4*3*2*1 = 5040#.

สำหรับสูตรทั่วไปเพิ่มเติมเพื่อค้นหาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของ # n # วัตถุที่ถ่าย # R # ขณะนั้น, โดยไม่ต้องเปลี่ยน (เช่นนักเรียนในตำแหน่งที่ 1 ไม่ได้กลับไปที่พื้นที่รอและกลายเป็นตัวเลือกสำหรับตำแหน่งที่ 2) เรามักจะใช้สูตร:

จำนวนการเรียงสับเปลี่ยน = # "n!" / "(n-R)!" #.

กับ # n # จำนวนวัตถุ # R # จำนวนตำแหน่งที่จะเติมและ #!# สัญลักษณ์สำหรับ ปัจจัยเป็นการดำเนินการที่กระทำกับจำนวนเต็มแบบไม่ลบ # A # ดังนั้น รุ่น A ประเภทสิทธิ #! = #atimes (a-1) ครั้ง (a-2) ครั้ง (a-3) ครั้ง … ครั้ง (1) #

ดังนั้นการใช้สูตรของเรากับปัญหาดั้งเดิมที่เรามีนักเรียน 7 คนได้รับ 7 ครั้ง (เช่นเราต้องการเติม 7 ตำแหน่ง) เรามี

#'7!'/'(7-7)!' = (7*6*5*4*3*2*1)/(0!) = (7*6*5*4*3*2*1)/1 = 7!#

มันอาจดูเหมือนเคาน์เตอร์ง่าย #0! = 1#; อย่างไรก็ตามนี่เป็นกรณีที่แน่นอน