ตอบ:
# V = 16 / 15pi ~~ 3.35103 #
คำอธิบาย:
พื้นที่เป็นทางออกของระบบนี้:
# {(y <= - x ^ 2 + 2x + 3) (y> = 3):} #
และมันถูกร่างในเนื้อเรื่องนี้:
สูตรสำหรับปริมาตรของแกนการหมุนที่เป็นของแข็งคือ:
# V = pi * int_a ^ b f ^ 2 (z) dz #.
ในการใช้สูตรเราควรแปลฮาล์ฟมูนบนแกน x พื้นที่จะไม่เปลี่ยนดังนั้นจึงไม่เปลี่ยนปริมาตรด้วย:
# การ y = -x ^ 2 + 2x + 3color (สีแดง) (- 3) = - x ^ 2 + 2x #
# การ y = 3color (สีแดง) (- 3) = 0 #
ด้วยวิธีนี้เราได้รับ # f (z) = - Z ^ 2 + 2Z #.
พื้นที่ที่ถูกแปลตอนนี้มีการลงจุดที่นี่:
แต่อันไหนคือ a และ b ของอินทิกรัล? การแก้ปัญหาของระบบ:
# {(y = -x ^ 2 + 2x) (y = 0):} #
ดังนั้น # a = 0 และ b = 2 #.
ลองเขียนและแก้อินทิกรัลกัน:
# V = pi * int_0 ^ 2 (-z ^ 2 + 2z) ^ 2 dz #
# V = pi * int_0 ^ 2 z ^ 4-4z ^ 3 + 4z ^ 2 dz #
# v = pi * Z ^ 5 / 5- (4z ^ 4) / 4 + (4z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #
# v = pi * Z ^ 05/05-z ^ 4 + (4z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #
# v = pi * (2 ^ 5 / 5-2 ^ 4 + (4 * 2 ^ 3) / 3-0 ^ 05/05 + 0 ^ 4- (4 * 0 ^ 3) / 3) #
# v = pi * (32 / 5-16 + 32/3 + 0) #
# v = pi * (96 / 15-240 / 15 + 160/15) #
# v = pi * (96 / 15-240 / 15 + 160/15) #
# V = 16 / 15pi ~~ 3.35103 #
และ "มะนาว" นี่คือของแข็งที่ได้รับ:
