ตอบ:
# F # นูนออกมา # RR #
คำอธิบาย:
แก้ไขมันฉันคิดว่า
# F # มีความแตกต่าง 2 เท่าใน # RR # ดังนั้น # F # และ # ฉ '# อย่างต่อเนื่องค่ะ # RR #
เรามี # (ฉ '(x)) ^ 3 + 3f' (x) = E ^ x + cosx + x ^ 3 + 2x + 7 #
เราได้รับความแตกต่างทั้งสองส่วน
# 3 * (ฉ '(x)) ^ 2f' '(x) + 3f' '(x) = ^ อีเอ็กซ์ sinx + 3x ^ 2 + 2 # #<=>#
# 3f '' (x) ((F (x)) ^ 2 + 1) = ^ อีเอ็กซ์ sinx + 3x ^ 2 + 2 #
- # f (x) ^ 2> = 0 # ดังนั้น # f (x) ^ 2 + 1> 0 #
#<=># # f '' (x) = (E ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) / (3 ((F (x)) ^ 2 + 1)> 0) #
เราต้องการเครื่องหมายของตัวเศษดังนั้นเราจึงพิจารณาฟังก์ชั่นใหม่
#G (x) = ^ อีเอ็กซ์ sinx + 3x ^ 2 + 2 # , # x ##ใน## RR #
#G '(x) = ^ อีเอ็กซ์ cosx + 6x #
เราสังเกตเห็นว่า #G '(0) = E ^ 0-cos0 + 6 * 0 = 1-1 + 0 = 0 #
สำหรับ # x = π # #=># #G (π) = ^ E-πcosπ + 6π = ^ อีπ + 1 + 6π> 0 #
สำหรับ # x = -π # #G '(- π) = E ^ (- π) -cos (-π) -6π = 1 / E ^ π + cosπ-6π = 1 / E ^ π-1-6π <0 #
ในที่สุดเราก็ได้ตารางนี้ซึ่งแสดงความน่าเบื่อของ # G #
ควร # i_1 = (- OO, 0 # และ # I_2 = 0, + OO) #
#G (i_1) = กรัม ((- อู 0) = กรัม (0), lim_ (xrarr-OO) กรัม (x)) = 3 + OO) #
#G (I_2) = กรัม (0, + OO)) = กรัม (0), lim_ (xrarr + OO) กรัม (x)) = 3 + OO) #
เพราะ
- #lim_ (xrarr-OO) กรัม (x) = lim_ (xrarr-OO) (จ ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) #
# | sinx | <= 1 # #<=># # -1 <= - sinx <= 1 # #<=>#
# อี ^ x + 3x ^ 2 + 2-1 <= E ^ x + 3x ^ 2 + 2 sinx <= E ^ x + 3x ^ 2 + 2 + 1 # #<=>#
# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 <=> #
# อี ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= กรัม (x) <= E ^ x + 3x ^ 2 + 3 #
- ใช้ทฤษฎีการบีบ / แซนด์วิชที่เรามี
#lim_ (xrarr-OO) (จ ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + OO = lim_ (xrarr-OO) (จ ^ x + 3x ^ 2 + 3x) #
ดังนั้น, #lim_ (xrarr-OO) กรัม (x) = + OO #
- #lim_ (xrarr + OO) กรัม (x) = lim_ (xrarr + OO) (จ ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) #
ด้วยกระบวนการเดียวกันเราจบลงด้วย
# อี ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= กรัม (x) <= E ^ x + 3x ^ 2 + 3 #
อย่างไรก็ตาม #lim_ (xrarr + OO) (จ ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + OO = E ^ x + 3x ^ 2 + 3 #
ดังนั้น, #lim_ (xrarr + OO) กรัม (x) = + OO #
ช่วงของ # G # จะ:
# R_g = กรัม (D_g) = กรัม (i_1) uug (I_2) = 3 + OO) #
นั่นหมายความว่า
# {(g (x)> 0 "," xεRR), (g (x) <0 "," xεRR):} #
ดังนั้น, #G (π) = ^ E-πsinπ + 3π ^ 2 + 2 = ^ อีπ + 3π ^ 2 + 2> 0 #
ผลที่ตามมา #G (x)> 0 #, # x ##ใน## RR #
และ # f '' (x)> 0 #, # x ##ใน## RR #
#-># # F # นูนออกมา # RR #
ตอบ:
ดูด้านล่าง
คำอธิบาย:
ป.ร. ให้ไว้ #y = f (x) # รัศมีความโค้งจะถูกกำหนดโดย
#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') # ได้รับดังนั้น
# (f ') ^ 3 + 3f' = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2 x + 7 # เรามี
# 3 (f ') ^ 2f' '+ 3f' '= e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # หรือ
#f '' (1+ (f ') ^ 2) = 1/3 (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # หรือ
# 1 / (ฉ '' (1+ (ฉ) ^ 2)) = 3 / (จ ^ x + 3x ^ 3 sinx + 2) # หรือ
#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') = (3 (1+ (f') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3x ^ 3 sinx + 2) #
กำลังวิเคราะห์ #g (x) = e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # เรามี
#min g (x) = 0 # สำหรับ #x ใน RR # ดังนั้น #g (x) ge 0 # แล้วความโค้งเข้ามา
#rho = (3 (1+ (f ') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # ไม่มีการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า # f (x) # epigraph ถูกนูนเข้ามา # RR #
