คำถาม # 69feb

ตอบ:

บรรทัดปกติ: # การ y = (x-2-E ^ 4) / E ^ 2 #. เส้นสัมผัส: #y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

คำอธิบาย:

สำหรับปรีชา: ลองนึกภาพฟังก์ชั่นว่า #f (x, y) = e ^ x ln (y) - xy # อธิบายความสูงของภูมิประเทศ # x # และ # Y # เป็นพิกัดในระนาบและ #ln (y) # จะถือว่าเป็นลอการิทึมธรรมชาติ จากนั้นทั้งหมด # (x, y) # ดังนั้น # f (x, y) = a # (ความสูง) เท่ากับค่าคงที่บางอย่าง # A # เรียกว่าเส้นโค้งระดับ ในกรณีของเราความสูงคงที่ # A # เป็นศูนย์ตั้งแต่ # f (x, y) = 0 #.

คุณอาจคุ้นเคยกับแผนที่ภูมิประเทศซึ่งเส้นที่ปิดแสดงเส้นที่มีความสูงเท่ากัน

ตอนนี้การไล่ระดับสี #grad f (x, y) = ((บางส่วน f) / (บางส่วน x), (บางส่วน f) / (บางส่วน x)) = (e ^ x ln (y) - y, e ^ x / y - x) # ทำให้เรามีทิศทางที่จุด # (x, y) # ซึ่งใน # f (x, y) # (ความสูง) เปลี่ยนเร็วที่สุด นี่อาจเป็นทางตรงขึ้นหรือลงลงเนินตราบใดที่ภูมิประเทศของเราราบรื่น (แตกต่างกันไป) และเราไม่ได้อยู่ด้านบนด้านล่างหรือบนที่ราบสูง (เป็นจุดสูงสุด) นี่คือความจริงแล้วทิศทางปกติไปยังโค้งของความสูงคงที่เช่นที่ # (x, y) = (2, E ^ 2) #:

#grad f (2, e ^ 2) = (e ^ 2 ln (e ^ 2) - e ^ 2, e ^ 2 / e ^ 2 - 2) = (e ^ 2, -1) #.

ดังนั้นการ บรรทัดปกติ ไปในทิศทางนั้น # (2, E ^ 2) # สามารถอธิบายเป็น

# (x, y) = (2, e ^ 2) + s (e ^ 2, -1) #, ที่ไหน #s ใน mathbbR # เป็นพารามิเตอร์จริง คุณสามารถกำจัด # s # เพื่อแสดง # Y # เป็นหน้าที่ของ # x # หากคุณต้องการที่จะหา

# การ y = (x-2-E ^ 4) / E ^ 2 #.

อนุพันธ์ของทิศทางในทิศทางแทนเจนต์ต้องเป็น #0# (หมายถึงความสูงนั้นไม่เปลี่ยนแปลง) ดังนั้นเวกเตอร์แทนเจนต์ # (U, V) # ต้องตอบสนอง

#grad f (2, e ^ 2) cdot (u, v) = 0 #

# (e ^ 2, -1) cdot (u, v) = 0 #

# e ^ 2u - v = 0 #

# v = ^ อี 2u #, ที่ไหน # cdot # หมายถึงผลิตภัณฑ์ดอท ดังนั้น # (u, v) = (1, e ^ 2) # เป็นหนึ่งทางเลือกที่ถูกต้อง ดังนั้นการ เส้นสัมผัส จะผ่าน # (2, E ^ 2) # สามารถอธิบายเป็น

# (x, y) = (2, e ^ 2) + t (1, e ^ 2) #, #t ใน mathbbR #.

การแก้เพื่อ # Y # ให้ที่

#y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

ในที่สุดคุณควรตรวจสอบสิ่งนั้น # (2, E ^ 2) # อยู่บนเส้นโค้ง # f (x, y) #บนเส้นสัมผัสและบนเส้นปกติ