ขีด จำกัด ขณะที่ x เข้าใกล้อนันต์ของ (ln (x)) ^ (1 / x) คืออะไร

มันค่อนข้างง่าย คุณต้องใช้ความจริงที่ว่า

#ln (x) = e ^ (ln (ln (x))) #

จากนั้นคุณก็รู้ว่า

#ln (x) ^ (1 / x) = e ^ (ln (ln (x)) / x) #

จากนั้นส่วนที่น่าสนใจจะเกิดขึ้นซึ่งสามารถแก้ไขได้สองวิธีคือการใช้สัญชาตญาณและการใช้คณิตศาสตร์

ให้เราเริ่มด้วยส่วนปรีชา

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = lim_ (n-> infty) e ^ (("บางอย่างที่เล็กกว่า x") / x) = e ^ 0 = 1 #

ให้เราคิดว่าทำไมเป็นอย่างนั้น?

ขอบคุณความต่อเนื่องของ # อี ^ x # ฟังก์ชั่นเราสามารถย้ายขีด จำกัด:

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty)) (ln (ln (x)) / x)) #

เพื่อประเมินขีด จำกัด นี้ #lim_ (n-> infty) (LN (LN (x)) / x) #เราอาจใช้กฎของโรงพยาบาล l ซึ่งระบุ:

#lim_ (n-> infty) (f (x) / g (x)) = lim_ (n-> infty) ((f '(x)) / (g' (x))) #

ดังนั้นเมื่อเราจะนับอนุพันธ์เราจะได้รับ:

#lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x) = lim_ (n-> infty) (1 / (xln (x))) #

ในฐานะที่เป็นอนุพันธ์ # 1 / (XLN (x)) # สำหรับผู้เสนอชื่อและ #1# สำหรับตัวหาร

ขีด จำกัด นั้นง่ายต่อการคำนวณตามที่เป็น # 1 / infty # ชนิดของขีด จำกัด ซึ่งเป็นศูนย์

ดังนั้นคุณจะเห็นว่า

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty)) (ln (ln (x)) / x)) = e ^ 0 = 1 #

และมันก็หมายความว่า #lim_ (n-> infty) ln (x) ^ 1 / x = 1 # เช่นกัน