เวกเตอร์หน่วยใดที่ปกติกับระนาบที่มี (2i - 3 j + k) และ (2i + j - 3k)

ตอบ:

# vecu = <(sqrt (3)) / 3, (sqrt (3)) / 3, (sqrt (3)) / 3> #

คำอธิบาย:

เวกเตอร์ซึ่งเป็นเรื่องปกติ (orthogonal, ตั้งฉาก) กับระนาบที่มีเวกเตอร์สองตัวก็เป็นเรื่องปกติเช่นกัน เราสามารถหาเวกเตอร์ปกติได้โดยหาครอสโปรดัคของเวกเตอร์ที่กำหนดสองตัว จากนั้นเราสามารถหาเวกเตอร์หน่วยในทิศทางเดียวกับเวกเตอร์นั้น

ก่อนอื่นให้เขียนแต่ละเวกเตอร์ในรูปแบบเวกเตอร์:

# Veca = <2, -3,1> #

# vecb = <2,1, -3> #

ผลิตภัณฑ์ข้าม # vecaxxvecb # ถูกค้นพบโดย:

# vecaxxvecb = เอบีเอส ((věci, vecj, veck), (2, -3,1), (2,1, -3)) #

สำหรับทาง ผม องค์ประกอบเรามี:

#(-3*-3)-(1*1)=9-(1)=8#

สำหรับทาง J องค์ประกอบเรามี:

#-(2*-3)-(2*1)=--6-2=8#

สำหรับทาง k องค์ประกอบเรามี:

#(2*1)-(-3*2)=2-(-6)=8#

ดังนั้น, # vecn = <8,8,8> #

ทีนี้, ในการทำให้เวกเตอร์นี้เป็นหน่วย, เราหารเวกเตอร์ด้วยขนาดของมัน ขนาดที่ได้รับจาก:

# | vecn | = sqrt ((n_x) ^ 2 + (n_y) ^ 2 + (n_z) ^ 2) #

# | vecn | = sqrt ((8) ^ 2 + (8) ^ 2 + (8) ^ 2) #

# | vecn | = sqrt (64 + 64 + 64) = sqrt (192) = 8sqrt3 #

เวกเตอร์หน่วยจะได้รับจาก:

# vecu = (vecaxxvecb) / (| vecaxxvecb |) = (vecn) / (| vecn |) #

#vecu = (<8,8,8>) / (8sqrt (3)) #

# vecu = <1 / (sqrt (3)), 1 / (sqrt (3)), 1 / (sqrt (3))> #

ด้วยการหาเหตุผลเข้าข้างตัวส่วนเราจะได้รับ:

# vecu = <(sqrt (3)) / 3, (sqrt (3)) / 3, (sqrt (3)) / 3> #