ตอบ:
เส้นโค้งของการตัดกันอาจถูกกำหนดให้เป็น # (z, r) = ((81/2) sin2 theta, 9) #.
คำอธิบาย:
ฉันไม่แน่ใจว่าคุณหมายถึงอะไรโดยฟังก์ชันเวกเตอร์ แต่ฉันเข้าใจว่าคุณต้องการเป็นตัวแทนของเส้นโค้งของจุดตัดระหว่างพื้นผิวทั้งสองในคำแถลงคำถาม
เนื่องจากกระบอกสูบมีความสมมาตรรอบตัว # Z # แกนอาจแสดงเส้นโค้งในพิกัดทรงกระบอกได้ง่ายขึ้น
เปลี่ยนเป็นพิกัดทรงกระบอก:
#x = r cos theta #
#y = r sin theta #
#z = z #.
# R # คือระยะทางจาก # Z # แกนและ # theta # คือมุมทวนเข็มนาฬิกาจาก # x # แกนใน # x, y # เครื่องบิน.
จากนั้นพื้นผิวแรกจะกลายเป็น
# x ^ 2 + y ^ 2 = 81 #
# r ^ 2cos ^ 2 theta + r ^ 2sin ^ 2 theta = 81 #
# R ^ 2 = 81 #
# r = 9 #, เพราะอัตลักษณ์ตรีโกณมิติของพีทาโกรัส
พื้นผิวที่สองกลายเป็น
#z = xy #
#z = rcos theta rsin theta #
# z = r ^ 2sin theta cos theta #.
เราเรียนรู้จากสมการของพื้นผิวแรกว่าเส้นโค้งตัดกันต้องอยู่ในระยะยกกำลังสอง # R ^ 2 = 81 # จากพื้นผิวแรกให้มัน
#z = 81 sin theta cos theta #, #z = (81/2) sin2 theta #, เส้นโค้งที่ถูกกำหนดโดย # theta #. ขั้นตอนสุดท้ายคือข้อมูลเฉพาะตัวเกี่ยวกับวิชาตรีโกณมิติและทำได้จากการตั้งค่าส่วนตัว
จากนิพจน์นี้เราจะเห็นว่าเส้นโค้งนั้นเป็นเส้นโค้งจริง ๆ เนื่องจากมีหนึ่งระดับของเสรีภาพ
ทั้งหมดในทุก ๆ เราสามารถเขียนเส้นโค้งเป็น
# (z, r) = ((81/2) sin2 theta, 9) #, ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่มีค่าเวกเตอร์ของตัวแปรเดียว # theta #.
ตอบ:
ดูด้านล่าง
คำอธิบาย:
เมื่อพิจารณาถึงจุดตัดของ
# C_1 -> {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (z ใน RR):} #
กับ
# C_2-> z = x y #
หรือ # C_1 nn C_2 #
เรามี
# {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (x ^ 2y ^ 2 = z ^ 2):} #
ตอนนี้แก้เพื่อ # x ^ 2, y ^ 2 # เราได้เส้นโค้งแบบพารามิเตอร์
# {(x ^ 2 = 1/2 (r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))), (y ^ 2 = 1/2 (r ^ 2 + sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))):} # หรือ
# {(x = pm sqrt (1/2 (r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2)))), (y = pm sqrt (1/2 (r ^ 2 + sqrt (r ^ 2) -4 z ^ 2)))):} #
ซึ่งเป็นของจริง
# r ^ 2-4 z ^ 2 ge 0 rArr z lepm (r / 2) ^ 2 #
พล็อตที่แนบมาแสดงเส้นโค้งตัดกันเป็นสีแดง (หนึ่งใบไม้)
