Orthocenter ของรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมคืออะไร (9, 7), (4, 4) และ (8, 6) #?

ตอบ:

ดูด้านล่าง

คำอธิบาย:

เราจะเรียกจุดยอด `A = (4,4)`, `B = (9,7)` และ `C = (8,6)`.

เราต้องหาสมการสองอันที่ตั้งฉากกับทั้งสองข้างและผ่านจุดยอดสองแห่ง เราสามารถหาความชันของทั้งสองด้านและทำให้ความชันของเส้นตั้งฉากสองเส้น

ความชันของ AB:

`(7-4)/(9-4)=3/5`

ความชันตั้งฉากกับสิ่งนี้:

`-5/3`

สิ่งนี้ต้องผ่านจุดยอด C ดังนั้นสมการของเส้นคือ:

`Y-6 = -5/3 (x-8)`, `3y = -5x + 58` 1

ความชันของ BC:

`(6-7)/(8-9)=1`

ความชันตั้งฉากกับสิ่งนี้:

`-1`

สิ่งนี้ต้องผ่านจุดสุดยอด A ดังนั้นสมการของเส้นคือ:

`Y-4 = - (x-4)`, `การ y = -x + 8` 2

เมื่อ 1 และ 2 ตัดกันเป็นจุดศูนย์กลาง

การแก้ 1 และ 2 พร้อมกัน:

`3 (-x + 8) = - 5x + 58`

`-3x + 24 = -5x + 58`

`-3x + 24 = 5x + 58 => x = 34/2 = 17`

ใช้ 2:

`การ y = -17 + 8 = -9`

orthocenter:

`(17, -9)`

เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมเป็นป้าน orthocenter อยู่นอกรูปสามเหลี่ยม สิ่งนี้สามารถเห็นได้ถ้าคุณขยายเส้นระดับความสูงจนกระทั่งพวกมันข้าม

ตอบ:

orthocenter

`x_0 = 17, y_0 = -9`

วงล้อม

`x_0 = 2 y_0 = 13`

คำอธิบาย:

orthocenter

ป.ร. ให้ไว้ `p_1, p_2, p_3` และ

`vec v_ (12), vec v_ (13), vec v_ (23)` ดังนั้น

`<< vec v_ (12), p_2-p_1 >> = << vec v_ (13), p_3-p_1 >> = << vec v_ (23), p_3-p_2 >> = 0`

เวกเตอร์เหล่านั้นหาได้ง่ายเช่น

`p_1 = (x_1, y_1)` และ `p_2 = (x_2, y_2)` แล้ว

`vec v_ (12) = (y_1-y_2, - (x_1-x_2))`

ตอนนี้เรามี

`L_1 -> p_1 + lambda_1 vec v_ (23)`

`L_2-> p_2 + lambda_2 vec v_ (13)`

`L_3-> p_3 + lambda_3 vec v_ (12)`

ทั้งสามเส้นตัดกันที่ orthocenter ของรูปสามเหลี่ยม

เลือก `L_1, L_2` เรามี

`(x_0, y_0) = "หาเรื่อง" (L_1 nn L_2)` หรือ

`p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13)`

ให้สมการ

`{(<< vec v_ (13), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (13), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (13) >>), (<< vec v_ (23), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (23), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (23) >>):}`

ตอนนี้แก้หา `lambda_1, lambda_2` เรามี

`lambda_1 = -4, lambda_2 = -13`

แล้ว

`p_0 = p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) = (17, -9)`

วงล้อม

สมการเส้นรอบวงได้รับจาก

`C-> x ^ 2 + y ^ 2-2x x_0-2yy_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0`

ตอนนี้ถ้า `{p_1, p_2, p_3} ใน C` เรามี

`{(x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2-2x_1 x_0-2y_1 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2-2x_0-2y_2 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2-2x_3 x_0-2y_3 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0):}`

ลบแรกจากที่สอง

`x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_2-x_1) -2y_0 (y_2-y_1) = 0`

การลบอันที่หนึ่งจากสาม

`x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_3-x_1) -2y_0 (y_3-y_1) = 0`

ให้ระบบสมการ

`((x_2-x_1, y_2-y_1), (x_3-x_1, y_3-y_1)) ((x_0), (y_0)) = 1/2 ((x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2)), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2)))`

ตอนนี้แทนที่ค่าที่เราได้รับ

`x_0 = 2 y_0 = 13`

พล็อตที่แนบมาซึ่งแสดง orthocenter (สีแดง) และ circumcentercenter (สีน้ำเงิน)