Orthocenter ของรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมคืออะไร (9, 7), (4, 4) และ (8, 6) #?

ตอบ:

ดูด้านล่าง

คำอธิบาย:

เราจะเรียกจุดยอด # A = (4,4) #, # B = (9,7) # และ # C = (8,6) #.

เราต้องหาสมการสองอันที่ตั้งฉากกับทั้งสองข้างและผ่านจุดยอดสองแห่ง เราสามารถหาความชันของทั้งสองด้านและทำให้ความชันของเส้นตั้งฉากสองเส้น

ความชันของ AB:

#(7-4)/(9-4)=3/5#

ความชันตั้งฉากกับสิ่งนี้:

#-5/3#

สิ่งนี้ต้องผ่านจุดยอด C ดังนั้นสมการของเส้นคือ:

# Y-6 = -5/3 (x-8) #, # 3y = -5x + 58 # 1

ความชันของ BC:

#(6-7)/(8-9)=1#

ความชันตั้งฉากกับสิ่งนี้:

#-1#

สิ่งนี้ต้องผ่านจุดสุดยอด A ดังนั้นสมการของเส้นคือ:

# Y-4 = - (x-4) #, # การ y = -x + 8 # 2

เมื่อ 1 และ 2 ตัดกันเป็นจุดศูนย์กลาง

การแก้ 1 และ 2 พร้อมกัน:

# 3 (-x + 8) = - 5x + 58 #

# -3x + 24 = -5x + 58 #

# -3x + 24 = 5x + 58 => x = 34/2 = 17 #

ใช้ 2:

# การ y = -17 + 8 = -9 #

orthocenter:

#(17, -9)#

เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมเป็นป้าน orthocenter อยู่นอกรูปสามเหลี่ยม สิ่งนี้สามารถเห็นได้ถ้าคุณขยายเส้นระดับความสูงจนกระทั่งพวกมันข้าม

ตอบ:

orthocenter

# x_0 = 17, y_0 = -9 #

วงล้อม

# x_0 = 2 y_0 = 13 #

คำอธิบาย:

orthocenter

ป.ร. ให้ไว้ # p_1, p_2, p_3 # และ

#vec v_ (12), vec v_ (13), vec v_ (23) # ดังนั้น

# << vec v_ (12), p_2-p_1 >> = << vec v_ (13), p_3-p_1 >> = << vec v_ (23), p_3-p_2 >> = 0 #

เวกเตอร์เหล่านั้นหาได้ง่ายเช่น

# p_1 = (x_1, y_1) # และ # p_2 = (x_2, y_2) # แล้ว

#vec v_ (12) = (y_1-y_2, - (x_1-x_2)) #

ตอนนี้เรามี

# L_1 -> p_1 + lambda_1 vec v_ (23) #

# L_2-> p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

# L_3-> p_3 + lambda_3 vec v_ (12) #

ทั้งสามเส้นตัดกันที่ orthocenter ของรูปสามเหลี่ยม

เลือก # L_1, L_2 # เรามี

# (x_0, y_0) = "หาเรื่อง" (L_1 nn L_2) # หรือ

# p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

ให้สมการ

# {(<< vec v_ (13), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (13), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (13) >>), (<< vec v_ (23), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (23), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (23) >>):} #

ตอนนี้แก้หา # lambda_1, lambda_2 # เรามี

# lambda_1 = -4, lambda_2 = -13 #

แล้ว

# p_0 = p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) = (17, -9) #

วงล้อม

สมการเส้นรอบวงได้รับจาก

# C-> x ^ 2 + y ^ 2-2x x_0-2yy_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0 #

ตอนนี้ถ้า # {p_1, p_2, p_3} ใน C # เรามี

# {(x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2-2x_1 x_0-2y_1 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2-2x_0-2y_2 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2-2x_3 x_0-2y_3 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0):} #

ลบแรกจากที่สอง

# x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_2-x_1) -2y_0 (y_2-y_1) = 0 #

การลบอันที่หนึ่งจากสาม

# x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_3-x_1) -2y_0 (y_3-y_1) = 0 #

ให้ระบบสมการ

# ((x_2-x_1, y_2-y_1), (x_3-x_1, y_3-y_1)) ((x_0), (y_0)) = 1/2 ((x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2)), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2))) #

ตอนนี้แทนที่ค่าที่เราได้รับ

# x_0 = 2 y_0 = 13 #

พล็อตที่แนบมาซึ่งแสดง orthocenter (สีแดง) และ circumcentercenter (สีน้ำเงิน)