ตอบ:
#~=0.9391#
คำอธิบาย:
ก่อนที่เราจะเข้าไปมีคำถามเราจะมาพูดถึงวิธีการแก้ปัญหากันก่อน
ตัวอย่างเช่นสมมติว่าฉันต้องการพิจารณาผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากการโยนเหรียญที่ยุติธรรมสามครั้ง ฉันสามารถรับ HHH, TTT, TTH และ HHT
ความน่าจะเป็นของ H คือ #1/2# และความน่าจะเป็นของ T ก็เช่นกัน #1/2#.
สำหรับ HHH และสำหรับ TTT นั่นคือ # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 8/1 # แต่ละ.
สำหรับ TTH และ HHT ก็เช่นกัน # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 8/1 # แต่ละอัน แต่เนื่องจากมี 3 วิธีที่ฉันจะได้รับผลลัพธ์แต่ละอย่าง # 3xx1 / 8 = 3/8 # แต่ละ.
เมื่อฉันสรุปผลเหล่านี้ฉันจะได้รับ #1/8+3/8+3/8+1/8=1# - ซึ่งหมายความว่าตอนนี้ฉันมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากการโยนเหรียญ
สังเกตว่าถ้าตั้งไว้ # H # เป็น # P # และดังนั้นจึงมี # T # เป็น # ~ P #และสังเกตว่าเรามีเส้นแบ่งจากสามเหลี่ยมปาสคาล #(1,3,3,1)#เราได้ตั้งค่ารูปแบบของ:
#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (P) ^ k ((~ P) ^ (n-k)) #
และในตัวอย่างนี้เราได้:
# = C_ (3,0) (1/2) ^ 0 (1/2) ^ 3 + C_ (3,1) (1/2) ^ 1 (1/2) ^ 2 + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 (1/2) ^ 1 + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 (1/2) ^ 0 #
#=1(1)(1/8)+3(1/2)(1/4)+3(1/4)(1/2)+1(1/8)(1)#
#=1/8+3/8+3/8+1/8=1#
ตอนนี้เราสามารถแก้ไขปัญหาได้แล้ว
เราได้จำนวนม้วนเท่ากับ 8 ดังนั้น # n = 8 #.
# P # คือผลรวมมากกว่า 7 หากต้องการหาความน่าจะเป็นที่จะได้ผลรวมมากกว่า 7 ลองดูที่ม้วนที่เป็นไปได้:
# ((สี (สีขาว) (0), UL1, ul2, ul3, ul4, ul5, ul6), (1 |, 2,3,4,5,6,7), (2 |, 3,4,5, 6,7,8), (3 |, 4,5,6,7,8,9), (4 |, 5,6,7,8,9,10), (5 |, 6,7, 8,9,10,11), (6 |, 7,8,9,10,11,12)) #
จากความเป็นไปได้ 36 อย่าง 15 ม้วนให้ผลรวมมากกว่า 36 ทำให้มีความน่าจะเป็น #15/36=5/12#.
กับ # p = 5/12, ~ p = 7/12 #
เราสามารถเขียนผลรวมของความเป็นไปได้ทั้งหมด - จากการได้รับทั้งหมด 8 ม้วนเป็นผลรวมที่มากกว่า 7 ไปจนถึงการรับทั้งหมด 8 ม้วนเป็นผลรวมของ 7 หรือน้อยกว่า:
# = C_ (8,0) (5/12) ^ 8 (7/12) ^ 0 + C_ (8,1) (5/12) ^ 7 (7/12) ^ 1 + C_ (8,2) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2 + C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 = 1 #
แต่เราสนใจที่จะสรุปเฉพาะคำที่มีมากกว่า 7 ผลรวมเกิดขึ้น 5 ครั้งหรือน้อยกว่า:
# = C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 #
#~=0.9391#
ตอบ:
#0.93906#
คำอธิบาย:
# "So P ผลลัพธ์> 7 = 15/36 = 5/12" #
#P "มันเกิดขึ้น k ครั้งเมื่อมีการโยน 8 ครั้ง" = C (8, k) (5/12) ^ k (7/12) ^ (8-k) "#
# "(การกระจายแบบทวินาม)" #
# "กับ" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! k!) "(ชุดค่าผสม)" #
# "ดังนั้น" #
#P "เกิดขึ้นไม่เกิน 5 ครั้งในการทุ่ม 8 ครั้ง" #
# = 1 - P "มันเกิดขึ้น 6, 7 หรือ 8 ครั้งในการโยน 8 ครั้ง" #
# = 1-C (8,6) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2-C (8,7) (5/12) ^ 7 (7/12) - (5/12) ^ 8 #
#= 1 - (5/12)^8 (1 + 8*(7/5) + 28*(7/5)^2)#
#= 1 - (5/12)^8 (1 + 11.2 + 54.88) = 1 - (5/12)^8 (67.08)#
#= 0.93906#
