คุณจะหา int 3 / ((1 + x) (1 - 2x)) dx โดยใช้เศษส่วนบางส่วนได้อย่างไร

ตอบ:

#ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C #

คำอธิบาย:

ปล่อย # 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) # เป็น = # (A / (1 + x) + B / (1 - 2x)) #

การขยายด้านขวาเราจะได้รับ

# (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) #

เราได้เปรียบเท่ากัน

# (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) # = # 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) #

กล่าวคือ #A * (1 - 2x) + B * (1 + x) = 3 #

หรือ #A - 2Ax + B + Bx = 3 #

หรือ # (A + B) + x * (- 2A + B) = 3 #

เราได้สมการสัมประสิทธิ์ของ x เป็น 0 และค่าคงที่ equating

#A + B = 3 # และ

# -2A + B = 0 #

การแก้ปัญหาสำหรับ A & B เราได้รับ

#A = 1 และ B = 2 #

เราได้รับการแทนที่ด้วยการรวมเข้าด้วยกัน

#int 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) dx # = #int (1 / (1 + x) + 2 / (1 - 2x)) dx #

= #int (1 / (1 + x)) dx + int (2 / (1 - 2x)) dx #

= #ln (1 + x) + 2 * ln (1 - 2x) * (-1 / 2) #

= #ln (1 + x) - ln (1 - 2x) #

= #ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C #