เวกเตอร์หน่วยใดที่ปกติกับระนาบที่มี (i + k) และ (i - 2 j + 3 k)

ตอบ:

# vecu = <(sqrt (3)) / 3, - (sqrt (3)) / 3, - (sqrt (3)) / 3> #

คำอธิบาย:

เวกเตอร์ซึ่งเป็นเรื่องปกติ (orthogonal, ตั้งฉาก) กับระนาบที่มีเวกเตอร์สองตัวก็เป็นเรื่องปกติเช่นกัน เราสามารถหาเวกเตอร์ปกติได้โดยหาครอสโปรดัคของเวกเตอร์ที่กำหนดสองตัว จากนั้นเราสามารถหาเวกเตอร์หน่วยในทิศทางเดียวกับเวกเตอร์นั้น

ก่อนอื่นให้เขียนแต่ละเวกเตอร์ในรูปแบบเวกเตอร์:

# Veca = <1,0,1> #

# vecb = <1 -2,3> #

ผลิตภัณฑ์ข้าม # vecaxxvecb # ถูกค้นพบโดย:

# vecaxxvecb = เอบีเอส ((věci, vecj, veck), (1,0,1), (1, -2,3)) #

สำหรับทาง ผม องค์ประกอบเรามี:

#(0*3)-(-2*1)=0-(-2)=2#

สำหรับทาง J องค์ประกอบเรามี:

#-(1*3)-(1*1)=-3-1=-2#

สำหรับทาง k องค์ประกอบเรามี:

#(1*-2)-(0*1)=-2-0=-2#

ดังนั้น, # vecn = <2, -2, -2> #

ทีนี้, ในการทำให้เวกเตอร์นี้เป็นหน่วย, เราหารเวกเตอร์ด้วยขนาดของมัน ขนาดที่ได้รับจาก:

# | vecn | = sqrt ((n_x) ^ 2 + (n_y) ^ 2 + (n_z) ^ 2) #

# | vecn | = sqrt ((2) ^ 2 + (- 2) ^ 2 + (- 2) ^ 2) #

# | vecn | = sqrt (4 + 4 + 4) = sqrt (12) = 2sqrt3 #

เวกเตอร์หน่วยจะได้รับจาก:

# vecu = (vecaxxvecb) / (| vecaxxvecb |) = (vecn) / (| vecn |) #

#vecu = (<2, -2, -2>) / (2sqrt (3)) #

# vecu = <2 / (2sqrt (3)), - 2 / (2sqrt (3)), - 2 / (2sqrt (3))> #

# vecu = <1 / sqrt (3) - 1 / sqrt (3) - 1 / sqrt (3)> #

ด้วยการหาเหตุผลเข้าข้างตัวส่วนเราจะได้รับ:

# vecu = <(sqrt (3)) / 3, - (sqrt (3)) / 3, - (sqrt (3)) / 3> #