Lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 คืออะไร

ตอบ:

#lim_ (x-> oo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = oo #

คำอธิบาย:

ปล่อย # y = (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 #

# LNY = LN ((E ^ (2x) บาป (1 / x)) / x ^ 2) #

# LNY = LNE ^ (2x) + LN (บาป (1 / x)) - LNX ^ 2 #

# LNY = 2xlne + LN (บาป (1 / x)) - 2lnx #

# LNY = 2x + LN (บาป (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = lim_ (x-> oo) 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> OO) LNY = OO #

# อี ^ LNY = E ^ OO #

# การ y = OO #

ตอบ:

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = oo #. โปรดดูส่วนคำอธิบายด้านล่าง

คำอธิบาย:

#lim_ (xrarroo) (จ ^ (2x) บาป (1 / x)) / x ^ 2 #

โปรดทราบว่า: # (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = e ^ (2x) / x ^ 3 * sin (1 / x) / (1 / x) #

ตอนนี้เป็น # xrarroo #อัตราส่วนแรกจะเพิ่มขึ้นโดยไม่มีข้อผูกมัดในขณะที่อัตราส่วนที่สองไปที่ #1#.

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = lim_ (xrarroo) e ^ (2x) / x ^ 3 * lim_ (xrarroo) sin (1 / x) / (1 / x) #

# = oo #

คำอธิบายเพิ่มเติม

นี่คือเหตุผลที่นำไปสู่การแก้ปัญหาข้างต้น

#lim_ (xrarroo) (จ ^ (2x) บาป (1 / x)) / x ^ 2 # มีรูปแบบเริ่มต้น # (OO * 0) / อู #.

นี่เป็นรูปแบบที่ไม่แน่นอน แต่เราไม่สามารถใช้กฎของ l'Hospital กับแบบฟอร์มนี้ได้

เราสามารถเขียนมันใหม่เป็น # (จ ^ (2x)) / (x ^ 2 / บาป (1 / x)) # เพื่อรับแบบฟอร์ม # OO / OO # ซึ่งเราสามารถใช้โรงพยาบาล l ' อย่างไรก็ตามฉันไม่ต้องการใช้อนุพันธ์ของตัวส่วนนั้นโดยเฉพาะ

จำได้ว่า #lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1 #.

ดังนั้น #lim_ (xrarroo) sin (1 / x) / (1 / x) = 1 #.

นี่คือสิ่งที่กระตุ้นการเขียนใหม่ที่ใช้ข้างต้น

# (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = e ^ (2x) / x ^ 3 * sin (1 / x) / (1 / x) #.

เช่น # x # เพิ่มขึ้นโดยไม่มีข้อผูกมัด # อี ^ x # ไปที่อนันต์เร็วกว่านั้นมาก # x ^ 3 # (เร็วกว่าพลังของ # x #).

ดังนั้น, # e ^ (2x) = (e ^ x) ^ 2 # ระเบิดเร็วยิ่งขึ้น

หากคุณไม่มีข้อเท็จจริงนี้ให้ใช้กฎของ l'Hospital เพื่อรับ

#lim_ (xrarroo) e ^ (2x) / x ^ 3 = lim_ (xrarroo) (2e ^ (2x)) / (3x ^ 2) #

# = lim_ (xrarroo) (8e ^ (2x)) / (6) = oo #