แสดงว่า 3 ^ (1/3) xx9 ^ (1/9) xx27 ^ (1/27) ... ถึงอินฟินิตี้ = 3 ^ (3/4). how?

ตอบ:

ดูด้านล่าง

คำอธิบาย:

# 3 ^ (1/3) xx9 ^ (1/9) xx27 ^ (1/27) cdots = 3 ^ (1/3) xx 3 ^ (2/9) xx 3 ^ (3/27) cdots = 3 ^ (1/3 + 2/9 +3 / 27 + cdots + n / 3 ^ n + cdots) = 3 ^ S #

กับ

#S = sum_ (k = 1) ^ oo n / 3 ^ n =? #

เรารู้ว่า #sum_ (k = 1) ^ oo k x ^ k = x d / (dx) sum_ (k = 1) ^ oo x ^ k #

และสำหรับ #abs x <1 #

#sum_ (k = 1) ^ oo x ^ k = 1 / (1-x) -1 # และ # d / (dx) (1 / (1-x) -1) = 1 / (1-x) ^ 2 # แล้วก็

#sum_ (k = 1) ^ oo k x ^ k = x / (1-x) ^ 2 # และสำหรับ #x = 1/3 # เรามี

#S = 3/4 # จากนั้นในที่สุด

# 3 ^ S = 3 ^ (3/4) #

การใช้คำจำกัดความของการคอนเวอร์เจนซ์คุณจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าลำดับ {5+ (1 / n)} มาบรรจบกันจาก n = 1 ถึงอินฟินิตี้

อนุญาต: a_n = 5 + 1 / n ดังนั้นสำหรับ m, n ใน NN ด้วย n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) เป็น n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n และเป็น 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m ระบุ epsilon จำนวนจริงใด ๆ > 0 แล้วเลือกจำนวนเต็ม N> 1 / epsilon สำหรับจำนวนเต็มใด ๆ m, n> N เรามี: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon ซึ่งพิสูจน์เงื่อนไขของ Cauchy สำหรับการบรรจบกันของลำดับ

การใช้คำจำกัดความของการคอนเวอร์เจนซ์คุณจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าลำดับ {2 ^ -n} มาบรรจบกันจาก n = 1 ถึงอินฟินิตี้

ใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเพื่อกำหนด N เช่น | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon สำหรับทุก m, n> N นิยามของคอนเวอร์เจนซ์ระบุว่า {a_n} ลู่เข้าหากัน: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon ดังนั้น epsilon ที่กำหนด> 0 take N> log_2 (1 / epsilon) และ m, n> N กับ m <n เป็น m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 ดังนั้น | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1-2 ^ (mn)) ตอนนี้เป็น 2 ^ x อยู่เสมอ บวก (1- 2 ^ (mn)) <1 ดังนั้น 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) และเป็น 2 ^ (- x) จะลดลงอย่างเคร่งครัดและ m> N &g

คุณจะตัดสินได้อย่างไรว่าอินทิกรัลรวมที่ไม่เหมาะสมมาบรรจบกันหรือเบี่ยงเบน int 1 / [sqrt x] จาก 0 ถึงอินฟินิตี้?

ส่วนประกอบสำคัญ เราสามารถใช้การทดสอบเปรียบเทียบสำหรับอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสม แต่ในกรณีนี้อินทิกรัลนั้นง่ายมากที่จะประเมินว่าเราสามารถคำนวณได้และดูว่าค่านั้นถูก จำกัด ขอบเขตหรือไม่ int_0 ^ oo1 / sqrtx dx = int_0 ^ oox ^ (- 1/2) = [2sqrtx] _0 ^ oo = lim_ (x-> oo) (2sqrtx) -2sqrt (0) = lim_ (x-> oo) ( 2sqrtx) = oo ซึ่งหมายความว่าอินทิกรัลลงตัว