Antiderivative 1 / sinx คืออะไร?

ตอบ:

มันคือ # -ln abs (cscx + cot x) #

คำอธิบาย:

# 1 / sinx = cscx = cscx (cscx + cotx) / (cscx + cotx) #

# = (csc ^ 2 x + csc x cot x) / (cscx + cotx) #

ตัวเศษเป็นสิ่งที่ตรงกันข้าม ('ลบ') ของอนุพันธ์ของ denomoinator

แอนติเดริเวทีฟคือลบลอการิทึมธรรมชาติของตัวส่วน

# -ln abs (cscx + cot x) #.

(หากคุณเรียนรู้เทคนิคการทดแทนเราสามารถใช้ #u = cscx + cot x #ดังนั้น #du = -csc ^ 2 x - cscx cotx #. การแสดงออกกลายเป็น # -1 / u du #.)

คุณสามารถตรวจสอบคำตอบนี้ได้โดยแยกความแตกต่าง

วิธีการที่แตกต่างกันไป

# int1 / sinxdx # #=#

# intsinx / บาป ^ 2xdx #

# intsinx / (1-cos ^ 2x) DX #

แทน

# cosx u = #

# -sinxdx = du #

# sinxdx = -du #

#=# # -int1 / (1-U ^ 2) du #

• # 1 / (1-U ^ 2) = 1 / ((U-1) (U + 1)) = A / (U-1) + B / (U + 1) # #=#

# (A (U + 1) + B (U-1)) / ((U-1) (U + 1)) #

พวกเราต้องการ รุ่น A (U + 1) + B (U-1) = 1 # #<=>#

# Au + A + Bu-B = 1 # #<=>#

# (A + B) U + A-B = 1 # #<=>#

# (A + B) U + A-B = 0u + 1 # #<=>#

# {(A + B = 0 ""), (A-B = 1 ""):} # #<=>#

# {(A + B = 0 ""), (A = B + 1 ""):} # #<=>#

# {(B + 1 + B = 0 ""), (A = B + 1 ""):} # #<=>#

# {(B = -1 / 2 ""), (A = 1/2 ""):} #

ดังนั้น, # -int1 / (1-U ^ 2) du # #=#

# -int ((1/2) / (U-1) - (1/2) / (U + 1)) du # #=#

# 1 / 2int (1 / (U + 1) -1 / (U-1)) du # #=#

# 1 / 2int (((U + 1) ') / (U + 1) - ((U-1)') / (U-1)) du # #=#

# 2/1 (LN | U + 1 | -ln | U-1 | + C) # #=#

# 1/2 (LN | (U + 1) / (U-1) | + C) # #=#

# 1/2 (LN | (cosx + 1) / (cosx-1) | + C) # #=#

# 1/2 (LN | (1-cosx) / (1 + cosx) | + C) #

#ln | สีน้ำตาล (x / 2) | + C '#, # (C, C ') ##ใน## RR #