นี่ถูกมองว่าไม่สามารถทำได้ด้วยวิธีการเบื้องต้นดังนั้นฉันจึงแก้ไขมันเป็นตัวเลขและได้:
ฉันประเมินค่าอินทิกรัลสำหรับ #n = 1, 1.5, 2,…, 9.5, 10, 25, 50, 75, 100 #. จากนั้นมันก็ถึงอย่างชัดเจน #0.5#.
ตอบ:
ดูด้านล่าง
คำอธิบาย:
# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1 #
# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx ge 1/2 int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1/2 #
หรือ
# 1/2 ไฟล์ int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le 1 #
ทีนี้สมมติว่าคำตอบอย่างใดอย่างหนึ่งเป็นจริงดูเหมือนว่าธรรมชาติที่สุดจะเป็น 4 ข้อที่ 4)
บันทึก
สำหรับ #x ใน 0,1 #
# 1/2 le 1 / (1 + x ^ 2) le 1 #
ตอบ:
#1/2#
คำอธิบาย:
ตามที่ได้แสดงไว้แล้วในโซลูชันก่อนหน้านี้
#I_n = int_0 ^ 1 (nx ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx #
มีอยู่และถูกล้อมรอบ:
# 1/2 ไฟล์ I_n <1 #
ตอนนี้การบูรณาการโดยชิ้นส่วนผลผลิต
# I_n = ((int nx ^ (n-1) dx) / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1-int_0 ^ 1 x ^ n ครั้ง (- (2x) / (1 + x ^ 2) ^ 2) dx #
#qquad = (x ^ n / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1 + 2int_0 ^ 1 x ^ (n + 1) / (1 + x ^ 2) ^ 2dx #
#qquad = 1/2 + J_n #
ตอนนี้ตั้งแต่ # 0 <(1 + x ^ 2) ^ - 1 <1 # ใน #(0,1)#
#J_n = 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) ^ 2 dx #
#qquad <= 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) dx = 2 / (n + 2) I_ (n + 2) #
ตั้งแต่ #lim_ (n ถึง oo) I_n # มีอยู่เรามี
#lim_ (n ถึง oo) J_n = lim_ (n to oo) 2 / (n + 2) I_ (n + 2) = lim_ (n to oo) 2 / (n + 2) คูณ Lim_ (n ถึง oo) I_ (n + 2) = 0 #
ด้วยเหตุนี้
# lim_ (n ถึง oo) I_n = 1/2 #