กรุณาแก้ปัญหานี้ ตัวเลือกใดถูกต้อง?

นี่ถูกมองว่าไม่สามารถทำได้ด้วยวิธีการเบื้องต้นดังนั้นฉันจึงแก้ไขมันเป็นตัวเลขและได้:

ฉันประเมินค่าอินทิกรัลสำหรับ #n = 1, 1.5, 2,…, 9.5, 10, 25, 50, 75, 100 #. จากนั้นมันก็ถึงอย่างชัดเจน #0.5#.

ตอบ:

ดูด้านล่าง

คำอธิบาย:

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1 #

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx ge 1/2 int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1/2 #

หรือ

# 1/2 ไฟล์ int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le 1 #

ทีนี้สมมติว่าคำตอบอย่างใดอย่างหนึ่งเป็นจริงดูเหมือนว่าธรรมชาติที่สุดจะเป็น 4 ข้อที่ 4)

บันทึก

สำหรับ #x ใน 0,1 #

# 1/2 le 1 / (1 + x ^ 2) le 1 #

ตอบ:

#1/2#

คำอธิบาย:

ตามที่ได้แสดงไว้แล้วในโซลูชันก่อนหน้านี้

#I_n = int_0 ^ 1 (nx ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx #

มีอยู่และถูกล้อมรอบ:

# 1/2 ไฟล์ I_n <1 #

ตอนนี้การบูรณาการโดยชิ้นส่วนผลผลิต

# I_n = ((int nx ^ (n-1) dx) / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1-int_0 ^ 1 x ^ n ครั้ง (- (2x) / (1 + x ^ 2) ^ 2) dx #

#qquad = (x ^ n / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1 + 2int_0 ^ 1 x ^ (n + 1) / (1 + x ^ 2) ^ 2dx #

#qquad = 1/2 + J_n #

ตอนนี้ตั้งแต่ # 0 <(1 + x ^ 2) ^ - 1 <1 # ใน #(0,1)#

#J_n = 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) ^ 2 dx #

#qquad <= 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) dx = 2 / (n + 2) I_ (n + 2) #

ตั้งแต่ #lim_ (n ถึง oo) I_n # มีอยู่เรามี

#lim_ (n ถึง oo) J_n = lim_ (n to oo) 2 / (n + 2) I_ (n + 2) = lim_ (n to oo) 2 / (n + 2) คูณ Lim_ (n ถึง oo) I_ (n + 2) = 0 #

ด้วยเหตุนี้

# lim_ (n ถึง oo) I_n = 1/2 #