คุณจะรวม int_1 ^ e 1 / (x sqrt (ln ^ 2x)) dx อย่างไร

ตอบ:

อินทิกรัลนี้ไม่มีอยู่จริง

คำอธิบาย:

ตั้งแต่ #ln x> 0 # ในช่วงเวลา # 1, อี #, เรามี

#sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x #

ที่นี่เพื่อให้อินทิกรัลกลายเป็น

# int_1 ^ e dx / {x ln x} #

แทน #ln x = u #จากนั้น # dx / x = du # ดังนั้น

# int_1 ^ e dx / {x ln x} = int_ {ln 1} ^ {ln e} {du} / u = int_0 ^ 1 {du} / u #

นี่คืออินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมเนื่องจากปริพันธ์และค่าเบี่ยงเบนที่ขีด จำกัด ล่าง สิ่งนี้ถูกนิยามว่าเป็น

#lim_ {l -> 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u #

ถ้ามีอยู่ ตอนนี้

#int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = -ln l #

เนื่องจากความแตกต่างนี้อยู่ในขีด จำกัด #l -> 0 ^ + #อินทิกรัลไม่อยู่

ตอบ:

# ปี่ / 2 #

คำอธิบาย:

อินทิกรัล # int_1 ^ อี ("d" x) / (xsqrt (1-LN ^ 2 (x)) #.

ทดแทนก่อน # U = LN (x) # และ # "D" U = ("d" x) / x #.

ดังนั้นเราจึงมี

#int_ (x = 1) ^ (x = จ) ("d" U) / sqrt (1-U ^ 2) #

ตอนนี้แทน # U = บาป (V) # และ # "D" U = cos (V) "d" v #.

จากนั้น

#int_ (x = 1) ^ (x = e) (cos (v)) / (sqrt (1-sin ^ 2 (v))) "d" v = int_ (x = 1) ^ (x = e) "d" v # ตั้งแต่ # 1 บาป ^ 2 (V) = cos ^ 2 (V) #.

อย่างต่อเนื่องเรามี

# V _ (x = 1) ^ (x = จ) = arcsin (U) _ (x = 1) ^ (x = จ) = arcsin (LN (x)) _ (x = 1) ^ (x = จ) = arcsin (LN (จ)) - arcsin (LN (1)) = pi / 2-0 = pi / 2 #