แตกต่างจากหลักการแรก x ^ 2sin (x) หรือไม่?

ตอบ:

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) # จากคำจำกัดความของอนุพันธ์และการ จำกัด ขอบเขต

คำอธิบาย:

ปล่อย #f (x) = x ^ 2 sin (x) #. แล้วก็

# (df) / dx = lim_ {h to 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# = lim_ {h to 0} ((x + h) ^ 2sin (x + h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = lim_ {h to 0} ((x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) - x ^ 2sin (x)) / h #

#=#

# lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h + #

# lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h + #

# lim_ {h to 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h + #

# lim_ {h to 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

โดยเอกลักษณ์ตรีโกณมิติและการทำให้เข้าใจง่ายบางอย่าง ในสี่บรรทัดสุดท้ายนี้เรามี สี่คำ.

เทอมแรก เท่ากับ 0 ตั้งแต่

#lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = x ^ 2sin (x) (lim_ {h to 0} (cos (h) - 1) / h) #

#= 0#, ซึ่งสามารถเห็นได้เช่น จากการขยายตัวของเทย์เลอร์หรือกฎของโรงพยาบาล

ภาคเรียนที่สี่ ก็หายไปเพราะ

#lim_ {h to 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h to 0} h (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) #

#= 0#.

ตอนนี้ ภาคเรียนที่สอง ลดความยุ่งยากในการ

# lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h #

# = x ^ 2cos (x) (lim_ {h to 0} (sin (h)) / h) #

# = x ^ 2cos (x) #, ตั้งแต่

#lim_ {h to 0} (sin (h)) / h = 1 #ดังที่แสดงไว้ที่นี่หรือเช่น กฎของโรงพยาบาล L'Hospital (ดูด้านล่าง)

ภาคเรียนที่สาม ลดความยุ่งยากในการ

# lim_ {h to 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h to 0} 2xsin (x) cos (h) + 2xsin (h) cos (x) #

# = 2xsin (x) #,

ซึ่งหลังจากนั้น เพิ่มไปยังคำที่สอง ให้ที่

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) #.

หมายเหตุ: ตามกฎของโรงพยาบาล L 'ตั้งแต่ # lim_ {h to 0} sin (h) = 0 # และ # lim_ {h to 0} h = 0 # และฟังก์ชั่นทั้งสองนั้นแตกต่างกันไป # H = 0 #เรามีสิ่งนั้น

# lim_ {h to 0} sin (h) / h = lim_ {h to 0} ((d / (dh)) sin (h)) / (d / (dh) h) = lim_ { h to 0} cos (h) = 1 #.

ขีด จำกัด # lim_ {h to 0} (cos (h) - 1) / h = 0 # สามารถแสดงในทำนองเดียวกัน